ISFA 1998 2eme epreuve de mathematiques option a

Description

I. S. F. A. 1998-1999 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. Les trois exercices proposés sont indépendants. EXERCICE 1 (ALGEBRE) Le but de cet exercice est de déterminer tous les couples d’entiers ( n,k ) satisfaisant : k k−1(1) C = C pour n ≥ k ≥ 1 . n n+11°- On pose p = n− k + 1 et on note t le PGCD de p et k , et s le quotient entier de k par t. Montrer que : 2 2 p = t et t + 1= s( t + s ) 2°- Soit ( s,t ) un couple d’entiers naturels satisfaisant 2(2) t + 1= s(s+ t) , s>1 , t>1 . v  1 − 1 t Montrer que le couple ( u,v ) défini par = vérifie aussi :      u −1 2 s     2v + 1= u(v+ u) 0

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• Publié par: shura
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Extrait

1°- On pose p=n−k+1 et on notetle PGCD depetk, etsle quotient entier dekpart. Montrer que :

I. S. F. A. _________

Concours d'Entrée _______________

Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. Les trois exercices proposés sont indépendants. E XERCICE 1 (A LGEBRE ) Le but de cet exercice est de déterminer tous les couples d’entiers ( n,k ) satisfaisant :

k k−1 (1) C=C pour n≥k≥1 . n n+1

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________

1998

1998-1999 _________

E XERCICE 2 (S ERIES DE F OURIER ET INTEGRATION ) 2π 1 1°- Soitf unefonction à valeurs réelles définie et de classe C sur[0,2π]que telle f ( t )dt=0 . En utilisant le ∫ 0 développement en série de Fourier des prolongéesà3 , 2 périodique, des fonctionsf etf’ montrerl’inégalité de Wirtinger : 2π2π ' 22 f (s )ds ≥ f ( s ) ds . ∫ ∫ 0 0 Que peut-on dire pourf lorsqu’il y a égalité ?

2°- Soit ( s,t ) un couple d’entiers naturels satisfaisant 2 (2) t+1=s(s+t)  ,t>1s>1 ,.  v    1−1   t  Montrer que le couple ( u ,v ) défini par = vérifie aussi :     u−s1 2     2 v+1=u(v+u) 0<v<t .0<u<s et 3°- En déduire que si(s,t) est un couple d’entiers naturels strictement positifs satisfaisant (2), il existe un entier naturel mtel que : m  t   2 1   1  = .     s 11 1     4°- Déterminer alors l’ensemble des couples ( n, k ) solutions de (1).

2 2 p=t et t+1=s( t+s )