ISFA 1998 2eme epreuve de mathematiques option a

I. S. F. A. 1998-1999 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. Les trois exercices proposés sont indépendants. EXERCICE 1 (ALGEBRE) Le but de cet exercice est de déterminer tous les couples d’entiers ( n,k ) satisfaisant : k k−1(1) C = C pour n ≥ k ≥ 1 . n n+11°- On pose p = n− k + 1 et on note t le PGCD de p et k , et s le quotient entier de k par t. Montrer que : 2 2 p = t et t + 1= s( t + s ) 2°- Soit ( s,t ) un couple d’entiers naturels satisfaisant 2(2) t + 1= s(s+ t) , s>1 , t>1 . v  1 − 1 t Montrer que le couple ( u,v ) défini par = vérifie aussi :      u −1 2 s     2v + 1= u(v+ u) 0