ISFA 1999 2eme epreuve de mathematiques option b

I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B - I - Soit ℘ un ensemble de N individus noté I ,..,I . On s'intéresse au caractère "fumeur" ou "non-fumeur" de chaque 1 Nindividu et, pour les individus fumeurs, à la consommation moyenne mensuelle calculée en nombre de cigarettes. Pour l'individu I on note c sa consommation en convenant de noter c =0 si I est non-fumeur. i i i iOn note θ la proportion d'individus fumeurs dans ℘ et m la moyenne des consommations calculée dans c∑ ii=1,..,Nl'ensemble des individus fumeurs de ℘ ( m= ) N×θ1°) On prélève dans ℘ un individu avec équiprobabilité. On note C la variable aléatoire égale à sa consommation. Calculer en fonction de N,θ et m la probabilité de l'événement C=0 et l'espérance de la variable C. 2°) On prélève dans ℘un échantillon de n individus de telle façon qu'un individu ne puisse figurer plus d'une fois dans l'échantillon. Pour i∈[1,2,..,N] on note E l'événement "I appartient à l'échantillon". I désigne la variable de Bernoulli égale à 1 si i i EiE est réalisé et égale à 0 sinon. ia - Que vaut I ? Si on suppose que toutes les probabilités Pr(E) sont égales, déduire la valeur ∑ iEii=1,.., Ncommune à ces probabilités. Montrer également que, si on suppose aussi que les événements E ∩ E sont tous équiprobables on a, pour i i jn(n−1)différent de j, Pr(E ∩ E )= ...