ISFA 1999 2eme epreuve de mathematiques option b

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I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B - I - Soit ℘ un ensemble de N individus noté I ,..,I . On s'intéresse au caractère "fumeur" ou "non-fumeur" de chaque 1 Nindividu et, pour les individus fumeurs, à la consommation moyenne mensuelle calculée en nombre de cigarettes. Pour l'individu I on note c sa consommation en convenant de noter c =0 si I est non-fumeur. i i i iOn note θ la proportion d'individus fumeurs dans ℘ et m la moyenne des consommations calculée dans c∑ ii=1,..,Nl'ensemble des individus fumeurs de ℘ ( m= ) N×θ1°) On prélève dans ℘ un individu avec équiprobabilité. On note C la variable aléatoire égale à sa consommation. Calculer en fonction de N,θ et m la probabilité de l'événement C=0 et l'espérance de la variable C. 2°) On prélève dans ℘un échantillon de n individus de telle façon qu'un individu ne puisse figurer plus d'une fois dans l'échantillon. Pour i∈[1,2,..,N] on note E l'événement "I appartient à l'échantillon". I désigne la variable de Bernoulli égale à 1 si i i EiE est réalisé et égale à 0 sinon. ia - Que vaut I ? Si on suppose que toutes les probabilités Pr(E) sont égales, déduire la valeur ∑ iEii=1,.., Ncommune à ces probabilités. Montrer également que, si on suppose aussi que les événements E ∩ E sont tous équiprobables on a, pour i i jn(n−1)différent de j, Pr(E ∩ E )= ...

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I. S. F. A. _________

1999-2000 _________

Concours d'Entrée _______________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B - I - Soit℘un ensemble de N individus noté I 1 ,..,I N . On s'intéresse au caractère "fumeur" ou "non-fumeur" de chaque individu et, pour les individus fumeurs, à la consommation moyenne mensuelle calculée en nombre de cigarettes. Pour l'individu I i on note c i sa consommation en convenant de noter c i =0 si I i est non-fumeur. On noteθ laproportion d'individus fumeurs dans℘m la moyenne des consommations calculée dans et c ∑ i i=1,.., N l'ensemble des individus fumeurs de℘( m=) × θ 1°) Onprélève dans℘un individu avec équiprobabilité. On note C la variable aléatoire égale à sa consommation. Calculer en fonction de N,θet m la probabilité de l'événement C=0 et l'espérance de la variable C. 2°) Onprélève dans℘un échantillon de n individus de telle façon qu'un individu ne puisse figurer plus d'une fois dans l'échantillon. Pour i∈[1,2,..,N] on note E i l'événement "I i appartient à l'échantillon". I désignela variable de Bernoulli égale à 1 si E i E i est réalisé et égale à 0 sinon. a -Que vautI ?Si on suppose que toutes les probabilités Pr(E i ) sont égales, déduire la valeur ∑ i E i = 1,.., N commune à ces probabilités. Montrer également que, si on suppose aussi que les événementsE∩tous équiprobables on a, pour iE sont i j n(n−1) différent de j,Pr(E∩E )= i j N(N−1) b -Montrer que le modèle de tirage avec équiprobabilité des combinaisons de n objets pris dans N satisfait aux deux conditions définies ci-dessus. 3°) SoitM la variable aléatoire égale au nombre d'individus fumeurs de l'échantillon des n individus. Montrer que M peut s'écrireI×I .En déduire l'espérance et la variance de M. ∑ i > i c 0E i = 1,.., N 4°) SoitT la variable aléatoirec×I ∑ i i E i=1,.., N Donner l'espérance de T . En déduire une variable aléatoire d'espérance m. 5°) SoitZ la variable aléatoire définie par :  Z=0 si M=0  c×I  ∑ i i E i = 1,.., N  Z=   M a -Interpréter la variable Z. 1999