ISFA 2000 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 On considère dans IR les deux domaines suivants : 2  2 2u D = (u, v)∈ IR 2 < u < 4 et 1< v < ; ∆= (,xy∈)IR2< x+ y< 4 etxy> 1 et x< y . { }  4 2 2 1°) Montrer que D et ∆ sont deux ouverts bornés de IR et que l’application ϕ de ∆ dans IR : u = x + y∞ (x, y) → (u, v) = ϕ(x, y) avec est une bijection C de ∆ sur D.  v = xy  Calculer son jacobien. 2°) En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I = (x − y ) cos(xy)dxdy . ∫∫∆ 3°) Calculer à nouveau I, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1 nI. On considère une application W de classe C de IR dans IR convexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n(x, y) de IR et tout λ∈[]0,1 W((1−λ)x +λy) ≤ (1−λ)W(x) + λW(y) . nPour h et x fixés dans IR, 0h ≠ et t réel on pose ϕ (t) = W(x + th) . (h,x)1°) Montrer que ϕ est aussi convexe de IR dans IR , en déduire que (h,x) ϕ (0) ≤ ϕ (1) −ϕ (0). ′(h,x) (h,x) (h,xn2°) En conclure que, pour tout couple (x, y) de IR , on a l’inégalité : gradW(x), y − x ≤ W(y) ...

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I. S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures

2000-2001 _________

Concours d'Entrée _______________

OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2  Onconsidère dans IR les deux domaines suivants :  2   2  2 u D=(u,v)∈IR2<u<4et1<v< Δ =(x,y)∈IR2<x+y<4etxy>1etx<y  ;.    4    2 2  1°)Montrer que D et Δ sont deux ouverts bornés deIRet que l’applicationde Δ dansIR:  u=x+y ∞ (x,y)→(u,v)=(x,y) avec estune bijection C deΔsurD.  v=xy   Calculerson jacobien.  2°)En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I = (x − y) cos(xy)dxdy. ∫∫ Δ  3°)Calculer à nouveauI, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1 n I. On considère une applicationW declasseCdeIR dans IR convexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n (x,y) deIRet tout λ ∈ [ 0,1 ] W((1− λ)x+ λy)≤(1− λ)W(x)+ λW(y) . n Pourhetxfixés dansIR,h ≠ 0 ettréel on poseϕ(t)=W(x+th) . (h,x) 1°) Montrerqueϕest aussi convexe de IR dans IR , en déduire que (h,x) ϕ(0)≤ ϕ(1)− ϕ(0) . ′ (h,x) (h,x) (h,x) n 2°) En conclure que, pour tout couple (x,y) deIR, on a l’inégalité : gradW(x),y−x≤W(y)−W(x) . 1 n n On rappelle que pourW application CdeIR dans IR , gradW(x) est le vecteur deIR decomposantes  ∂W∂W∂W  (x), (x),, (x) .   ∂x∂x∂x  1 2n  n II. On suppose maintenant queWstrictement convexe, c’est-à-dire vérifie, pour tout couple est (x,y)  deIR, x≠y , et tout λ ∈ ] 0,1 [ 2000