Isg 2002 mathematiques classe prepa hec (ece)

Description

ISG 2002 Option ØconomiqueExercice 11. Pour tout entier naturel n non nul, on considŁre la fonction f dØ…nie sur l intervalle ] 1;+1[ par :nnx7!f (x) =x ln(1+x):n(a) Etudier le sens de variation de la fonction h dØ…nie sur l intervalle ] 1;+1[ par :nxx7!h (x) =nln(1+x)+ :n1+xCalculer h (0); puis en dØduire le signe ...

Informations

• Publié par: shura
• Nombre de lectures: 179
• Langue: Français

Extrait

ISG 2002 Option économique

Exercice 1

1. Pourtout entier naturelnnon nul, on considère la fonctionf n dénie sur lintervalle]1;+1[par : n x7!f n (x) =xln(1 +x): (a) Etudierle sens de variation de la fonctionh n dénie sur lintervalle]1;+1[par : x x7!h n (x) =nln(1 +x) +: 1 +x Calculerh n (0);puis en déduire le signe deh n (x): 0 (b) Pourtoutxappartenant à]1;+1[montrer quef(x) =h 1 (x) 1 0n1 et que, pour tout entiernstrictement supérieur à1; f(x) =x h n (x): n (c) Onsupposenle tableau de variation de la fonctionimpair. Dresserf n ;en précisant ses limites en1 et en+1: (d) Onsupposenpair. Dresserde même le tableau de variation def n ;en précisant ses limites en1et en 1: 1 R n 2. Onconsidère la suite(u n ) n>1 dénie par:u n =xln(1 +x)dx: 0 ln 2 (a) Démontrerque, pour tout entier naturelnnon nul :06u n 6: n+ 1 (b) Endéduire que la suite(u n ) n>1 est convergente et déterminer sa limite. 2 x1 (c) Jusitiferque, pour toutxappartenant à[0;1];on a :=x1 +: 1 +x1 +x 1 2 R x Puis calculerdx: 1 +x 0 (d) Calculeru 1 au moyen dune intégration par parties. n P k (e) Pourtoutxde[0;1]et pour tout entiern>2;on pose :S n (x) =(x): k=0 n+1n+1 1 (1)x Montrer que:S(x) =: n 1 +x1 +x n 1 n+1 R 1 1(1)x n+1 Etablir légalité1+ +::+ =ln 2(1)dx: 2 3n1 ++ 1x 0 1 n+1 R x1 Montrer que: 06dx6: 1 +x n+ 2 0 n 1 1(1) En déduirelim (1+ +::+ ) n!+1 2 3n+ 1 3. (a)A laide dune intégration par parties démontrer que :   n+1n ln 2(1 (1) 11) u n =ln 2(1+ +::+ ) n+ 1n+ 12 3n+ 1

1/3