Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECT) INSEEC

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Examen du Supérieur INSEEC. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 82
• Langue: Français

Extrait

INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

Exercice 1 Onconside`relesmatricescarr´eesd’ordre3:     4 0 21 0 01 02     A = 04 2 Iet 1 0= 0 J 1 2= 0 0 0 20 0 10 0−1 2 1. CalculerJ. 2. (a)De´terminerdeuxr´eelsαetβtels queA=αI+βJ. n (b)Etablirparre´currenceque,pourtoutentiernatureln:A=a n I+b n J. (On exprimeraa n+1 etb n+1 en fonction dea n etb n ). 3.Onconside`relesdeuxsuitesdetermesg´ene´rauxU n etV n r:paesni´dfie U n =a n +b n etV n =a n −b n (a) Montrerque (U n ) n∈N iqtrdoueonnt´epresicalarsiar.noesutenustigee´moe´ CalculerU n en fonction den. (b) Montrer que (V n ) n∈N nutserelurietm´eog´teuiespn´rcesiuqdenootson.CalceralaraiV n en fonction den. n (c)End´eduireles9termesdelamatriceA.

Exercice 2 I- 3 Soitge´nfioidn]r0eiusonctlaf,+∞[ par :g(x) = 2x+ 3−6 ln(x) × 3 2 1.D´eterminer3r´eelsa, b, c, tels que :∀x∈R + ,(x−1) = (x−1)(ax+bx+c) 2. 0 (a)Calculerlade´rive´egdeg. Etudier son signe. (b) Calculergdu´eelir1)(nd-Esegienedg(x) sur ]0,+∞[

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II - 3 ln(x) Onconside`relafonctionfde´finiesur]0;+∞[ par :f(x) =x−1 + 2 2x On note (Cac)lrboueperesr´neatitevedJ 1. Etudierles variations def 2. Dresserle tableau de variation def. 3.V´erifierqueladroite(Dtionequa´’d)y=x−tptosamy1est`e(aC). 4. Construire(C) et (D). 5. +∞ Z ln(x) (a)Montrerquel’inte´graleJ=dxconverge 2 x 1 (b)Ende´duirel’airedelasurfacelimit´eeparlacourbe(C), la droite (Dnioatqu´ed’etiordalte) x= 1.

Exercice 3 Leservicedede´pannaged’ungrandmagasindisposed’e´quipesintervenantsurappeldelacliente`le.Pour des causes diverses les interventions ont lieu parfois avec retard. On admet que les appels se produisent inde´pendammentlesunsdesautresetque,pourchaqueappel,laprobabilit´ed’unretardest0,25. 1.Unclientappelleleservicea`quatrereprises.Ond´esigneparXanenoutprbaellae´taioerrplavari valeurslenombredefoiso`uceclientaduˆsubirunretard. (a)De´terminerlaloideprobabilit´edeX. (b)Calculerl’esp´eranceetlavariancedeX. (c)Calculerlaprobabilit´edel’´ev´enementleclientasubiaumoinsunretard. 2.Aucoursdesanne´es1998et1999leserviceapre`s-venteenregistreunesuccessiond’appels.Lerang du premier appel pour lequel l’intervention s’effectue avec retard en 1998 (respectivement en 1999) d´efinitunevariableal´eatoireY(respectivementZ). (a)D´eterminerlaloideY. × (b)∀k∈N, calculerp(Y6k). (c)T= max(Y, Zddsergnalpsuenelesigaxd´o`um)srembnouxdeYouZ. i.De´crirel’e´ve´nement(T6k) en fonction de (Y6k) et de (Z6k). ii.D´eterminerlaloideT. iii.Calculerl’espe´ranceE(T) de la variableT.

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