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Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECT) Institut Supérieur du Commerce (ISC)

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Examen du Supérieur Institut Supérieur du Commerce (ISC). Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
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ISC 1999 Option technologique
Exercice 1    2 23 10 0    SoientA= 37 9etI1 0= 0 20 0 14 5 1. 2 2 (a) CalculerAeretd´isrnemi,upaetbtels queA=aA+bI. 1 (b)Ende´duirequelamatriceAest inversible et exprimer son inverseAen fonction deAetI, puis 1 calculerA. 2x+ 2y3z= 2 1 (c) Utiliserle calcul deA3edsrro´ueusreplot`yseemx7y+ 9z= 0 2x4y+ 5z=2 2.D´emontrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, on a : n nn n A= (1) [(12 )A+ (22 )I].
Exercice 2 u On rappelle que pour toutu,lxep´reeu=e. 1.Ond´enitlesdeuxfonctionsφetψsurR+par : 1 uu2 φ(u) =e1 +uetψ(u) =e1 +uu . 2 (a) Etudierles variations de la fonctionφsurR+on,cesirrustaelbatnoairavedutions,etend´eduierel signe deφsurR+. 0 (b)Montrerquepourtoutre´eludeR+,ψ(u) =φ(uoitcnofaledsnoitn.)nearialesvuired´edψsurR+, construiresontableaudevariations,etend´eduirelesignedeψsurR+. (c)Apartirdele´tudefaiteena)etb),montrerquepourtoutr´eelupositif ou nul on a : 1 u2 1u6e61u+u . 2 2. Pournntius[r0urelnonnul,ond´eeeitntanr,1] la fonctionfnpar : 2 x  2 x fn(x) =e nexpn 1 Z et on poseIn=fn(x)dx. 0 (a)Enutilisantladoubleine´galite´obtenue`alapartie Ic) , montrer que, pour toutxde [0,1], on a : 2 24 x xx 16fn(x)61+. 2 n n2n Ende´duireenfonctiondenun encadrement deIn. (b) Montrerque la suite (In)n>1srlamiti.eveontcesesice´rpteetnegr (c) Enutilisant l’encadrement deInobtenu en b), donner un encadrement den(In1), puis montrer que la suite (n(In.etirsseimalpretci´e))1ontcesteenrgve n>1
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1 Exercice3 Uneentreprisefabriquedesjouetse´lectroniques.Apr`eslafabricationdecesjouets,lentrepriseeectuedescontrˆoles `alasuitedesquels0,6%desjouetsrestentd´efectueux:unjouetcontroˆle´aainsilaprobabilit´e0,006 de rester d´efectueux.Onconsid`ereunlotdenntrˆol´esetparmiecxuc-,inopaeplleeuojocstXle nombre de jouets restant d´efectueux. 1. Surnuotej,quel´estrˆosconte´dfeceuaucjnuoelleestlatvuaeluexu?rquborplibaeellaltserlntees´eitiqu maximaledepourlaquellecetteprobabilit´eestsupe´rieureoue´gale`a0,5 ? 2.Quelleestlaloidelavariableal´eatoireXt).ceosniel´rseluatvaareitsujno(? 3. Pournreatoi=500,paviredallae´baelaponocprrlheoialuqraellepiol-tueX? Ende´duire,pourcettevaleurdenun,xiroppeaprlaabobtimadeonyliatiatiliuqe´xjouetsuplusdeu restantde´fectueux. 4. Pourn0,0010=tuepiolelleuqraplalocherppro-onaae´lailbvaradileotaeeriX? ende´duire,pourcettevaleurdenqe´tilibtiayliu0ee5trenseau0(t7snu,enparpxoimationdelaproba large)jouetsrestantd´efectueux. 5. Lesnetdnujnuoperataoiiquelar´riseainspertnela`ruoterleete)quonlcue,qxe´entsud(svtnessonouetj d´efectueuxcouˆtent40euros.Surcesnjouets, soitYatarepr´.nsiorsedlatotesruoteixdeleprenttrevi ExprimerYen fonction deXetend´eduirelpseare´decneY. Decombiendoit-onmajorerleprixdeventedechacundecesnjouetspourcouvrirlefraisentraıˆne´sparla r´eparationdesjouetsde´fectueuxdanscelotdenjouets ?
Exercice 4 Uneurnecontient2boulesnoireset3boulesblanches.Ontiresimultane´ment2boulesdelurne. Quelleestlaprobabilit´edobtenirainsi2boulesnoires?uneseuleboulenoire?aucuneboulenoire? Uneurnecontient1boulenoireet4boulesblanches.Ontiresimultan´ement2boulesdelurne. Quelleestlaprobabilite´dobtenirainsi1boulesnoires?aucuneboulenoire? On dispose d’une urneU0contenant 2 boules noires et trois boules blanches, et d’urnesU1, U2, . . . ., Un, . . .., chacune contenant3boulesblanches.Ontiresimultane´ment2boulesdelurneU0, on les place dans l’urneU1, et on appelleX1le nombre de boules noires contenues alors dans l’urneU1. 1.Donnerlaloidelavariableale´atoireX1cte;naecp´eroneslersalcu De l’urneU1antcnnoet5soblaro,ontulesimuliresneme´natseluob2tspleonetnsdacelaU2Et ainsi. . . . desuite.Onad´eniainsipournentiernaturel,Xn: le nombre de boules noires contenues dansUnlorsque les2boulesprovenantdelurnepr´ec´edenteyonte´t´ede´pos´eesetjusteavantdetirer2boulesdelurneUn. n 2. Pourneluratrn,dulnnnoeitne(mentrilee´rce´en´veXn=end´2)etiudeuqereP(Xn= 2) = (0,1) . 3. Pournentier naturel non nul, montrer que P(Xn+1= 1) = 0,6P(Xn= 2) + 0,4P(Xn= 1). Puismontrerparr´ecurrenceque,pournentier naturel non nul, on a : n n P(Xn= 1) = 2×(0,4)2×(0,1). 4. Calculer,pournedtaruleonetneinrp´erancennullesXnimiledetaltera´eelncttcespeeeuroqsntend vers +.
Valeursnum´eriques 10 10,5 0,006×0,9940,0772;1,30;1,36; 7,72 7,72 ln 0,5 23 e0,135;e0,050;0,14; ln 0,006 ln 0,994 0,0087; Φ(0,30)0,618; Φ(1,36)0,913; ln 0,5 Φe´tantlafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´ere´duite.
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1 e0,368; ln 0,5 115,18; ln 0,994 Φ(1,30)0,903,