Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECT) Institut Supérieur du Commerce (ISC)

Description

Examen du Supérieur Institut Supérieur du Commerce (ISC). Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 1999

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 65
• Langue: Français

Extrait

ISC 1999 Option technologique

Exercice 1    −2 2−3 10 0    SoientA= 3−7 9etI1 0= 0 2−0 0 14 5 1. 2 2 (a) CalculerAeretd´isrnemi,upaetbtels queA=aA+bI. −1 (b)Ende´duirequelamatriceAest inversible et exprimer son inverseAen fonction deAetI, puis −1 calculerA.   −2x+ 2y−3z= 2 −1 (c) Utiliserle calcul deA 3 edsrro´ueusreplot`yseem x−7y+ 9z= 0  2x−4y+ 5z=−2 2.D´emontrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, on a : n nn n A= (−1) [(1−2 )A+ (2−2 )I].

Exercice 2 −u On rappelle que pour toutu,lxep´reeu=e. 1.Ond´efinitlesdeuxfonctionsφetψsurR + par : 1 −u−u2 φ(u) =e−1 +uetψ(u) =e−1 +u−u . 2 (a) Etudierles variations de la fonctionφsurR + on,cesirrustaelbatnoairavedutions,etend´eduierel signe deφsurR + . 0 (b)Montrerquepourtoutre´eludeR + ,ψ(u) =−φ(uoitcnofaledsnoitn.)nearialesvuired´edψsurR + , construiresontableaudevariations,etend´eduirelesignedeψsurR + . (c)Apartirdel’e´tudefaiteena)etb),montrerquepourtoutr´eelupositif ou nul on a : 1 −u2 1−u6e61−u+u . 2 2. Pournnfitius[r0urelnonnul,ond´eeeitntanr,1] la fonctionf n par : 2 x   2 x − f n (x) = e n exp− n 1 Z et on poseI n =f n (x)dx. 0 (a)Enutilisantladoubleine´galite´obtenue`alapartie Ic) , montrer que, pour toutxde [0,1], on a : 2 24 x xx 1−6f n (x)61−+. 2 n n2n Ende´duireenfonctiondenun encadrement deI n . (b) Montrerque la suite (I n ) n>1 srlamiti.eveontcesesice´rpteetnegr (c) Enutilisant l’encadrement deI n obtenu en b), donner un encadrement den(I n −1), puis montrer que la suite (n(I n −.etirsseimalpretci´e))1ontcesteenrgve n>1

1

1 Exercice3 Uneentreprisefabriquedesjouetse´lectroniques.Apr`eslafabricationdecesjouets,l’entrepriseeffectuedescontrˆoles `alasuitedesquels0,6%desjouetsrestentd´efectueux:unjouetcontroˆle´aainsilaprobabilit´e0,006 de rester d´efectueux.Onconsid`ereunlotdenntrˆol´esetparmiecxuc-,inopaeplleeuojocstXle nombre de jouets restant d´efectueux. 1. Surnuotej,quel´estrˆosconte´dfeceuaucjnuoelleestlatvuaeluexu?rquborplibaeellaltserlntees´eit’iqu maximaledepourlaquellecetteprobabilit´eestsupe´rieureoue´gale`a0,5 ? 2.Quelleestlaloidelavariableal´eatoireXt).ceosniel´rseluatvaarefiitsujno(? 3. Pournreatoi=500,paviredallae´baelaponocprrlheoialuqraellepiol-tueX? Ende´duire,pourcettevaleurdenun,xiroppeaprlaabobtimadeonyli’atiatiliuqe´xjouetsuplusdeu restantde´fectueux. 4. Pourn0,0010=tuepiolelleuqraplalocherppro-onaae´lailbvaradileotaeeriX? ende´duire,pourcettevaleurdenqe´tilibtiayli’u0ee5trenseau0(t7snu,enparpxoimationdelaproba large)jouetsrestantd´efectueux. 5. Lesnetdnu’jnuoperataoiiquelar´riseainspertne’la`ruoterleete)quonlcue,qxfie´entsud(svtnessonouetj d´efectueuxcouˆtent40euros.Surcesnjouets, soitYatarepr´.nsiorsedlatotesruoteixdeleprenttrevi ExprimerYen fonction deXetend´eduirelpse’are´decneY. Decombiendoit-onmajorerleprixdeventedechacundecesnjouetspourcouvrirlefraisentraıˆne´sparla r´eparationdesjouetsde´fectueuxdanscelotdenjouets ?

Exercice 4 Uneurnecontient2boulesnoireset3boulesblanches.Ontiresimultane´ment2boulesdel’urne. Quelleestlaprobabilit´ed’obtenirainsi2boulesnoires?uneseuleboulenoire?aucuneboulenoire? Uneurnecontient1boulenoireet4boulesblanches.Ontiresimultan´ement2boulesdel’urne. Quelleestlaprobabilite´d’obtenirainsi1boulesnoires?aucuneboulenoire? On dispose d’une urneU 0 contenant 2 boules noires et trois boules blanches, et d’urnesU 1 , U 2 , . . . ., U n , . . .., chacune contenant3boulesblanches.Ontiresimultane´ment2boulesdel’urneU 0 , on les place dans l’urneU 1 , et on appelleX 1 le nombre de boules noires contenues alors dans l’urneU 1 . 1.Donnerlaloidelavariableale´atoireX 1 cte;naecp´eroneslersalcu De l’urneU 1 antcnnoet5soblaro,ontulesimuliresneme´natseluob2tspleonetnsdacelaU 2 Et ainsi. . . . desuite.Onad´efiniainsipournentiernaturel,X n : le nombre de boules noires contenues dansU n lorsque les2boulesprovenantdel’urnepr´ec´edenteyonte´t´ede´pos´eesetjusteavantdetirer2boulesdel’urneU n . n 2. Pourneluratrn,dulnnnoeitne(mentrilee´rce´en´’veX n =end´2)etiudeuqereP(X n = 2) = (0,1) . 3. Pournentier naturel non nul, montrer que P(X n+1 = 1) = 0,6P(X n = 2) + 0,4P(X n = 1). Puismontrerparr´ecurrenceque,pournentier naturel non nul, on a : n n P(X n = 1) = 2×(0,4)−2×(0,1). 4. Calculer,pournedtaruleonetneinrp´erancennull’esX n imiledetaltera´eelncttcespeeeuroqsntend vers +∞.

Valeursnum´eriques √ 10 10,5 0,006×0,994≈0,0772;≈1,30;≈1,36; 7,72 7,72 ln 0,5 −2−3 e≈0,135;e≈0,050;≈0,14; ln 0,006 ln 0,994 ≈0,0087; Φ(0,30)≈0,618; Φ(1,36)≈0,913; ln 0,5 Φe´tantlafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´ere´duite.

2

−1 e≈0,368; ln 0,5 ≈115,18; ln 0,994 Φ(1,30)≈0,903,