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Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

5 pages
Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
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ECRICOME 1999 S
Lundi 3 mai 1999 de 8h00 `a 12h00
L’´enonc´e comporte 5 pages.
Exercice 1
Soit
la fonction r´eelle d´efinie sur
par :
o`u
est un entier naturel sup´erieur ou ´egal `
a
1
.
On se propose de d´eterminer les extremums ´eventuels de cette fonction dans les deux cas particuliers
, puis
.
.1.
a) Justifier que
, est une fonction de classe
sur
.
b) Calculer les d´eriv´ees partielles du premier ordre de
.
.2.
On se place dans le cas
.
a) Montrer qu’il n’existe qu’un seul point
de
v´erifiant les conditions n´ecessaires
d’existence d’un extremum.
b) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre
de la fonction
et montrer que le point
est bien un extremum dont on pr´ecisera la nature.
.3.
On se place dans le cas
.
a) Montrer qu’il existe une infinit´e de points en lesquels le gradient de
s’annule.
b) Montrer qu’en ces points la fonction
admet un minimum.
Exercice 2
.1. Soit la matrice
a) Montrer que les valeurs propres de
sont
et
et d´eterminer les sous-espaces propres
associ´es.
b)
est-elle diagonalisable ?
On se propose de calculer
pour tout entier naturel
.
.2. Soit
et
deux matrices r´eelles carr´ees d’ordre
´ecrites sous forme de blocs:
avec
avec
V´erifier que le produit
s’´ecrit sous forme de blocs :
o`u
.
1
.3. Montrer que pour tout entier naturel
non nul, il existe une matrice colonne
`a
lignes telle
que
o`u
est la matrice
.
.4.
Calcul de
On pose
,
o
`u
est la matrice identit´e d’ordre
.
Pour tout entier naturel
, calculer
et ´ecrire explicitement la matrice
.
.5.
Calcul de
.
a) Soit
la matrice colonne repr´esentant dans la base canonique l’unique vecteur propre de
associ´
e
`a la valeur propre
, dont la premi`ere composante vaut
.
Calculer
puis
.
b) On pose
.
D
´eduire du 5.a les valeurs de
et
.
Problme
Le but de ce probl`eme est l’´etude de la r´epartition des revenus dans une population donn´ee, ainsi que
de deux mod`eles d’imposition.
Les trois parties peuvent ˆetre trait´ees de mani`ere ind´ependante.
Partie I
R´epartition des revenus dans une population donn´ee
On fait choix d’une unit´e
de revenu (par exemple
F) et on appelle
la variable al´eatoire
repr´esentant dans cette unit´e le revenu annuel d’un individu pris au hasard dans une certaine popula-
tion. On suppose que
suit la loi de Pareto de param`etres
c’est-`a-dire qu’une densit´e
de
est :
si
si
avec
,
est le revenu minimal recens´e dans la population.
I.1. Calculer la fonction de r´epartition
de
et donner l’allure de son graphe.
I.2. Calculer le revenu moyen
d’un individu de la population.
I.3. Soit
l’effectif total de la population et
le nombre des individus ayant un revenu au
moins ´egal `a
(
r´eel positif).
a) Quel est le montant total
des revenus de la population ?
b) En exprimant de deux fac
¸ons diff´erentes la probabilit´e qu’un individu, pris au hasard dans
la population, ait un revenu au moins ´egal `a
, montrer que
En d´eduire l’expression de
en fonction de
,
et
.
2
I.4. On change d’unit´e de revenu (on remplace
par une autre unit´e
,
o
`u
)
e
t
o
n
appelle
la variable al´eatoire repr´esentant le revenu annuel d’un individu exprim´e dans l’unit´e
. Calculer
en fonction de
et montrer que la loi de
est aussi une loi de Pareto.
Partie II
Etude d’un mod`ele d’imposition par tranches
Dans la plupart des pays, l’Etat pr´el`eve une partie des revenus d´eclar´es des habitants par un impˆot
direct.
On suppose dans cette partie II que ce pr´el`evement se fait par tranches. Une unit´e
de revenus ´etant
choisie, les tranches sont d´etermin´ees par une suite strictement croissante de r´eels
(on suppose
). La partie des revenus d’un individu se trouvant dans la tranche
est impos´ee au taux
,
l
a
s
u
i
t
e
´etant une suite croissante de r´eels de
(plus les tranches sont hautes, plus le taux
d’imposition est ´elev´e).
Ainsi un individu disposant d’un revenu annuel
paiera un impˆot :
si
si
avec
Soit
le nombre d’individus ayant un revenu sup´erieur ou ´egal `a
. On suppose que la fonction
est continue sur
et on admet que la tranche
rapporte `a l’Etat la somme :
.
On suppose dans cette partie que :
pour tout entier naturel
,
, et chaque tranche
est impos´ee au taux
,
o`u
est un param`etre r´eel strictement positif.
le nombre d’individus ayant un revenu sup´erieur ou ´egal `a
est
si
si
Cela revient `a prendre pour unit´e de revenu le revenu minimal recens´e dans la population,
´etant le
nombre total de contribuables.
II.1.
a) Quel est le taux d’imposition de la tranche
?
b) Ecrire, en Turbo-Pascal, un programme qui saisit le revenu
d’un contribuable et la valeur
choisie pour
, qui calcule et affiche la valeur de l’impˆot
acquitt´e par ce contribuable.
II.2. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral
est convergente et que le montant total
de l’impˆot encaiss´e par l’Etat est
.
On d´esigne d´esormais cet impˆot total par
(et non plus simplement
) pour mettre en ´evidence
qu’il d´epend du param`etre
.
3
II.3.
a) En admettant que :
pour
, montrer que :
b) Montrer que
est une fonction de
continue et d´erivable sur
c) Etudier
et
.
d) Dresser le tableau de variations de la fonction
.
II.4. On admet que le montant total des revenus de la population est dans ce mod`ele
.
Avec le syst`eme d’imposition ´etudi´e dans cette partie II., l’Etat peut-il pr´elever par l’impˆot
direct le dixi`eme de ce montant total ? Peut-il en pr´elever le tiers ?
Partie III
Etude d’un mod`ele d’imposition continu
On reprend les notations de la partie II, mais on suppose ici que le taux d’imposition est une fonc-
tion
continue et croissante. On admet que le montant total de l’impˆot est dans ce cas :
sous r´eserve de convergence de cette int´egrale. On suppose d´esormais que :
,
o
`u
est un param`etre r´eel strictement positif.
le nombre d’individus ayant un revenu sup´erieur ou ´egal `a
est :
si
si
(mˆeme hypoth`ese qu’au II.)
III.1. Donner le tableau de variations de la fonction
sur
.
III.2. On note maintenant
l’impˆot total pour mettre en ´evidence qu’il d´epend du param`etre
.
a) Montrer que l’int´egrale
est convergente.
b) Montrer que
.
c) Montrer sans chercher `a calculer sa d´eriv´ee que
est une fonction croissante de
.
III.3. On pose, pour tout r´eel
strictement positif,
.
a) Montrer que, pour
,
o
n
a
:
.
E
n
d
´eduire
.
4
b) Justifier, pour
,
l
i
n
´egalit´e
et en d´eduire que:
Pour tout
,
o
n
fi
x
e
tel que l’on ait
.
Montrer alors qu’on peut trouver
tel que pour
,
o
n
a
i
t
:
En d´eduire que :
.
c) On se propose ici d’´etudier la continuit´
e
d
e
l
a
f
o
n
c
t
i
o
n
sur
.
Pour
fix´e strictement positif, ´ecrire
sous forme d’une int´egrale.
Montrer que pour
et
,
o
n
a
:
.
En d´eduire qu’on peut trouver une constante
telle que pour
:
Conclure
III.4.
a) Montrer que la fonction
est continue sur
.
b) Calculer
et
.
c) Donner l’allure du graphe de
.
III.5. On admet que le montant total des revenus de la population est dans ce mod`ele
.
Avec le syst`eme d’imposition ´etudi´e dans cette partie III., l’Etat peut-il pr´elever par l’impˆot
direct le tiers de ce montant total ?
5