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Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

4 pages
Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument; Lusagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
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Exercice 1 Partie A Onconside`redansM3(R) les 3 matrices suivantes:     01 0 0 1 00 11 1 1   0 0M= 10 0,P= 011 etD= 22 1 1 1 212 0 0 02 1 1. MontrerquePetmrdte´niretinvesbleeersiP(ntsurlacopie).acseluclugsorerustosdleta´esdil 2. 11 (a)Ve´rierque:PP M=Diude´dnetereMen fonction deP,DetP. n (b)De´terminerDpour tout entier naturelnnon nul. n1 (c) Enexpliquant le raisonnement suivi, exprimerMen fonction deP,DetPpour tout entier naturel nnon nul. (d) Etablirque pour tout entier n non nul:       n nn n 1 11 1 +− −0 2 22 2     n nn n 1 11 11 n M=− −+0 2 22 22   n n   1 1 22 22 2 2 2 Partie B Un tourniquet comprend 3 casesA,BetC. Au cours des instants successifs 0,1,2,3, . . . ,ncalpeesul´eed.,u..bone surletourniquetdelamani`eresuivante: – Al’instant 0, la boule est en A. Sia`linstantnla boule est enAattnisn`,lan+ 1elle est enBou enC´eecipqubarolibi´t.eva Si`alinstantnla boule est enBsnila`,tnatnelle est en+ 1Aou enCt´e.avuqpicee´ibilorab Si`alinstantnla boule est enCnttanslaits`eyeere,lln+ 1. Pournedno,lerutanreitnar:´esignep Anlanssecaeeuldastlnetalobe´´vnemeAtnatla`sninBnesavee´l´tnlenemleesabouslactdanBla`tnatsninCn´elenemenv´taloblueetsadsnlacaseCtn`alinstan  an   et l’on notean=P(An), bn=P(Bn), cn=P(Cn) etXn=bn cn 1. (a)Donnerlesprobabilite´s:P(A0),P(B0),P(C0). (b) CalculerP(A1),P(B1),P(C1erque)etv´eriP(A1) +P(B1) +P(C1) = 1. 2. Danscette questionnest un entier naturel non nul. (a)Donnerles9probabilite´ssuivante: P(An+1/An), P(Bn+1/Bn),etP(Cn+1/Cn);
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P(Bn+1/An) etP(Cn+1/An); P(An+1/Bn) etP(Cn+1/Bn); P(An+1/Cn) etP(Bn+1/Cn) (b)Alaidedelaformuledesprobabilite´stotales,exprimerlesprobabilite´san+1,bn+1etcn+1en fonction desprobabilit´esan,bnetcn. (c)End´eduireque:Xn+1=M.Xn,Mamatantldelariceisngde´partie A. 3. n (a)Montrerparr´ecurrenceque:pourtoutentiernatureln,Xn=M .X0. (b)Ende´duirepourtoutentiernaturellesexpressionsdean,bnetcnen fonction denetuqeire´vre an+bn+cn= 1. 4. SoitTunombrede´egaleamenest´ndee´lpcaavlae´lriotairaaelbriasseceuqruopseleouabelneigteatCpour lapremie`refois. kd´nantesignenureitutannlernuonl. (a)V´erierque:(T=k) = (Ak1Ck)(Bk1Ck). (b) ExprimerP(T=k) en fonction deknnoctıˆaalerdiole.ReT. DonnerE(T).
Exercice 2 Partie A x Soitflafonctionnume´riquede´niesur[1,+:[ parf(x) =. xlnx Ond´esigneparCvetideesr´taenuobrrepelcafdan.ere`lpudusnapern 1. (a)D´eterminerlalimitedefen +. (b)Ende´duirelanaturedelabrancheinniedeCen +. 2. (a)R´esoudredans[1,+uation:1l[i´nqelnx>0. 0 (b)Ende´duirequef(x) s’annule et change de signe enx=e. (c) Donnerle tableau de variation def. 3.Donnerlese´quationsdestangentes`alacourbeCaux points d’abscisses 1 ete. 4. ConstruireCtesalbsetosemytpntue´evedansllesre`pernuonohtroee´ermqraueramtnsenaegsestiqueains e dunite´3cm.Onprendra:e'2,7,'1,6. e1 Partie B Soita1.dquenuee´rrtslteicntmeusplangr SoitTunevariableale´atoire`avaleursdansN\{0}r:apeine´dioled   k1 lna pourkentier naturel non nul,P(T=k) =p.o`,upitostpene.ivellee´remetcirtssnoctnatseenut a n.urel´edueenisngnrtatnei 1.   n lnalnalna (a)Rappelerlesignedeetcomparerler´eelaunombre1.End´eduirelim. n+a aa
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n n P1x n1k1 (b)Pourtoutr´eelx,1´dtnede´erdi1+r(peopelevx+∙ ∙ ∙+x)(1xndeet´ede)riu:euqx= . 1x k=1   k1 n Plna 2. OnposeSn= . a k=1 lna (a) ExprimerSnen fonction den.et de a (b)End´eduireque:limSn=f(a`ufe),oontied´lastncfoadeinlsnapartie A. n+3. lna (a) Montreralors que la loi deTr:ouepnied´enbietsp= 1. a (b)reconnaıˆtrelaloideTet donnerE(T).
Exercice 3 Partie A Ond´esigneparXavarldeeer´dunh(eevi´laelbaieriotaeilm´enager.ueer)sdnupaaper On suppose queXionenrdt´siafelctonemdauoptfar:niepd´e0,002x 0,002esix>0 f(x) = 0 six >0 1.ReconnaıˆtrelaloideX. DonnerE(X) etV(Xetmrnire)D.e´editranoitdeonepr´folatincX. 2. (a)Calculerlaprobabilite´pourquunappareilfonctionneaumoins800heures. (b)Calculerlaprobabilit´epourquunappareilfonctionnemoinsde900heuressachantquilafonctionne´ au moins 800 heures. 8 1 − '0,2021 On rappelle que 0,:002 =et on prendrae5 ;e5'0,819 500 PartieB Letauxdepannesdunecentrifugeusee´tanttrop´elev´e,sonfabricantde´cidederappelerles10000unite´sde´j`a venduesenFranceendiusantuncommunique´danslapresse. Onestime`a0,ainniosss.relnueea`noecedcssoitusesurn´retocedeecseirtnegufueqequnlcuequonl1paorabibil´t Lesretourssontinde´pendantslesunsdesautres. SoitZlavariableale´atoire´egaleaunombredecentrifugeusesretourne´esdanstoutelaFrance. 1. Reconnaˆıtrela loi deZ. DonnerE(Z),V(Z). 2. (a) Justifierque l’on peut approcher la loi deZpar une loi normale (m,σspa-rale)´dnotnodenimrete rame`tres. Tous les calculs suivants seront faits avec cette approximation et l’on ne tiendra pas compte de la correctiondecontinuit´e. Onde´signeparΦlafonctionder´epartitiondelaloinormaleN(0,1). (b) Rappelerpour toutxuelavall(Φedreer´x) + Φ(x). (c) ExprimerP(9706Z61030) en fonction de Φ(1). (d)D´eterminerleplusgrandentierMtel queP(Z>M)>0,9772. Extraitdelatablenormalecentre´er´eduite:Φ(1)=0.8413. . .; Φ(2) = 0.9772. . .
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