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Mathématiques 2 2004 Classe Prepa PSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2004 sur Bankexam.fr.
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Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre. **** Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes dans lesquels on retrouve cette suite. On désigne parN l'ensemble des entiers naturels, parN * l'ensembleN privé de 0, parZl'ensemble des entiers relatifs et parR l'ensemble des nombres réels. PournN note, on0,n l'ensemble des entiers naturelsk 0 tels quekn.
On noteMn+1(Z) des matrices carrées d'ordre l'anneaun coefficients dans1 àZ. Pour
MMn+1(Z), on noteM=mp,q(p,q)∈0,n2 oùmp,q l'élément de la ligne estp de la et m m colonneq. Par exempleMM2(Z) sera notéM=0,0 0,1. m1,0m1,1 PourMMn+1(Z), on det note( ) et de le déterminantcom(M) . la comatrice de R[X désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pournN ,Rn[X le désigne sous-espace deR[X] des polynômes de degré inférieur ou égal àn. Les partiesII, IIIetIVde ce problème sont indépendantes entre elles ; seule la suite étudiée dans la partieIapparaît dans une question de chacune de ces parties. Tournez la page S.V.P.
(i
)
a0 0=1 ,
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PARTIE I On définit la suite double de nombres réels
(ii) tout pourpN* ,ap,0=0
(iii) tout pourqN* ,a0,q=0
(iv) pour tout(p,q) ∈N2,ap+1,q+1=ap,q+ (p+1)ap+1,q.
ap,q
2 par : (p,q)∈N
La considération d'un tableau, dans lequel lesap,q sont disposés avecp indice de ligne etqindice de colonne, pourra se révéler d'une utilité certaine. I.1. PourqN, calculera1,q.
I.2.
I.3. I.4.
I.5.I.6.
Calculera2,1 eta2,2.
Pourq2 , exprimera2,q en fonction dea2,q1. En déduire la valeur dea2,q.
PourpN considère la propriété, onPp: " pour toutqN, on aap,qN".
Montrer que pour toutpN, la propriétéPpest vraie.
, calculer Pourp>q ap,q.
PourpN ,calculerap,p.
I.7. PournN désigne par, onAn la matrice carrée d'ordren+1 (c'est-à-dire àn+1 lignes et àn+ dont le terme de la ligne1 colonnes),p et de la colonneq estap,q tout, pour (p,q) ∈0,n2. Expliciter les matricesA2,A3,A4etA5.
II.1.SoitM=
mp,q
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PARTIE II
Dans cette partie,n désigne un entier naturel.
Mn+1(Z).
II.1.1. detMontrer que(M) ∈Z.
II.1.2.Montrer quecom(M) ∈Mn+1(Z).
II.1.3. inversible dans estOn rappelle qu'une matriceMn+1(Z)si et seulement si1existe et appartient àMn+1(Z) est inversible dans. Montrer queMn+1(Z)si et seulement si det(M) = ±1 . II.2.On définit la suiteBppN de polynômes deR[X : parB0= pour1 etpN* , p1 Bp=(Xj). j=0 II.2.1.Montrer que(B0,B1,K,Bn) est une base de l'espace vectorielRn[X; on notera
B cette base.
On noteXeu,1canoniqlabaseX,K,Xn deRn[X.
On notePn la matrice de passage de la baseX
de la baseB à la baseX
.
 à la base
B
II.2.2.On prendn=4 , expliciter les matricesP4 etQ4.
 etQn la matrice de passage
II.2.3.Montrer quePn est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dansZ.
II.2.4. det Calculer(Pn).
II.2.5 que MontrerQn est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dansZ. q On noteQn= βp q p,q0,n2 tout. Pourq0,n, on a doncXq=0βp,qBp. ,( ) p= II.2.6.En donnant àX valeurs particulières, déterminer les coefficients des 0,q,β1,q,β2q pourq0,n. , II.2.7. que MontrerQn=AnAn est la matrice définie auI.7.
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PARTIE III On noteF l'espace vectoriel réel des applications de classeC définies sur valeurs dansR de. On définit l'applicationF dansFpar : . φ( ) =g oùg(x) =xf(x)
0,[+ à et
PourqN* , on noteq= φoφq1; ainsi2= φoφ (par convention :φ0=idF). III.1. un endomorphisme de estVérifier queF. Est-il surjectif ? Est-il injectif ? Préciser le noyau de . III.2.Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de .
III.3.PourF, expliciterφ2( ). Déterminer le noyau de2 et en donner une base. III.4. SoitnN * qu'il existe des entiers. Montrerdp,q tels que, pour toutq1,n et tout q fF ait la relation : pour tout dans 0,, on[+,φq( ) (x) =dp,qxpf(p)(x), oùp est p=1 la dérivée p-ième de . On admet que cette décomposition est unique. III.5.On convient qued0,0=1 et que, pourpN* etqN* ,dp,0=d0,q=0 etdp,q0 si p>q. Montrer que pour tout(p,q) ∈1,n2, on adp,q=ap,q les, oùap,q sont les termes définis dans la partieI.
PARTIE IV IV.1Soit la fonction définie surR par(ϕt) =exp expt) − où exp1 , est la fonction exponentielle. IV1.1.Déterminer le développement limité de 4 en à l'ordret= 0. IV1.2.Pourn variant de 1 à 4, 0. en déduire la valeur de la dérivée n-ième de en
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SoitE un ensemble de cardinaln,nN. On appelle partition deE, tout ensemble de parties non vides deE, deux à deux disjointes, dont la réunion estE. Chaque partie de la partition s'appelle une classe. IV.2. tout entier PourjN* , on notePjn le nombre de partitions deE en classes. Par convention, on noteP00= pour tout1 et,nN * etjN* ,Pn0=P0j=0 .
IV.2.1.Pour>n, calculerPnj.
IV.2.2. CalculerPn1et Pnn pournN *.
IV.2.3.On supposej2et n1 . SoitaE. En distinguant parmi les partitions deE en classes, celles pour lesquelles le singleton =+Pest une classe de la partition, justifier l'égalitéPnjPnj11jjn1.
a
IV.2.4.En déduire que pour tout(j,n) ∈N2, on aPjn=aj,n les ,aj,n les termes étant définis dans la partieI. IV.3.On notePn le nombre de partitions deE. Par conventionP0=1. IV.3.1.Pourn à 4, calculer variant de 1Pn et comparerPn àϕ(n(0) où la est fonction définie enIV.1.IV.3.2.ExprimerPn à l'aide desPjn. Dans la suite, on admettra la formule n (1)Pn+1=CknPk où lesCnk sont les coefficients du binôme. k=0  IV.3.3 Montrer que pour toutnN on aPnn!
+∞ IV.4PourxR, on notes(x) =nPnxn lorsque la sé n=0geer.er!invco IV.4.1.Déduire deIV.3.3. que le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à 1. IV.4.2.Montrer à l'aide de(1) pour quex< a1, ons(x) =s(x)expx (on pourra développer en série entière exp et utiliser le produit de Cauchy de deux séries entières). IV.4.3.En déduires(x). IV.4.4.Montrer que pour toutnN, on aPn= ϕ(n(0). Fin de l'énoncé.Tournez la page S.V.P.