Mathématiques 2000 Classe Prepa B/L ENSAE
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Mathématiques 2000 Classe Prepa B/L ENSAE

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Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

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Publié le 18 mars 2007
Nombre de lectures 68
Langue Français

Extrait

ENSAE CONCOURS DENTREE 2000
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
La clarté et la rigueur des raisonnements, ainsi que la qualité de la rédaction (présentation, lisibilité, orthographe) seront des éléments importants dappréciation des copies. Il est notamment demandé aux candidats dencadrer les résultats obtenus et de faire apparaître clairement les théorèmes utilisés et les points clés de leurs réponses.En particulier pour les questions dont lénoncé fournit la réponse, le détail des calculs ou des justications doit gurer explicitement sur la copie.
PROBLEME I Mn(R)désigne lespace vectoriel des matrices carrées de taille2à coe¢ cients réels. 1. (a)Montrer que lensemble   ab 2 C=fM(a; b) =;(a; b)2Rg b a est un sous-espace vectoriel deM2(R): Préciser sa dimension et en donner une base. On considère lapplication C! C    :ab z=a+ib7!M(a; b) = b a aetbdésigne respectivement les parties réelle et imaginaire du nombre complexez: 0 (b) Montrerque, pour tous nombres complexeszetzdeC;on a 0 0 (z+z) = (z) + (z) 0 0 (zz) = (z)(z) En déduire que p p (8z2C)(8p2N) (z) = ((z))
(c) Lapplicationest-elle un isomorphisme despaces vectoriels ?
2. (a)Soit2[0;2[etAla matrice   cossinA= sincosk Pourk2N;calculerA :Le résultat est-il encore valide pourk2Z? (b) Soitp2N:Déterminer une matriceM2M2(R)telle que   2 0 p M=J;J= 02
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3. Onconsidère lapplication R[X]!R[X] f: 200 0 P(X)7!(1 +X)P(X)2XP(X) Soitn2NetEn=Rn[X]le sous-espace vectoriel deR[X]constitué des polynômes à coe¢ cients réels de degréinférieurou égal àn: (a) Justierque, pour toutn2N;la restrictionfndefàEnest un endomorphisme deEn: (b) Déterminerle noyau defn:Préciser sa dimension. (c) Déterminerles valeurs propres defnet préciser leur multiplicité. (d) Lendomorphismefnest-il diagonalisable ? (e) Soitp2NDéterminer un endomorphismeun entier xé.gndeEntel que p gn=gngn    gn=fn (gnest composéppourra utiliser la question 2.b)fois). On
PROBLEME II PARTIE A Pourx2R;on pose
+1 Z xt L(x) =dt:t e 0
1. (a)Déterminer le domaine de dénitionDdeL: (b) Prouverque, pour toutx2D; L(x+ 1) = (x+ 1)L(x): (c) CalculerL(n)pourn2N: 2. Prouverque pour toutx >0et2]0;1[, on a x(1+) x Z Z x u xt xxu t edt) (1+ )= (e du(1) e x x x(1)
+1 R2 t 3. (a)Rappeler la valeur de lintégraleI=e dt: 1 (b) Soit >0et >0:Prouver que 0 1 x Z 2 1 1 u @2xA limpe du=p(2) x!+1 2x  x
4. (a)Prouver que, pour tout"2]0;1[;il existe un réel02]0;1[tel que, pourbvériantjvj< 0;on ait 2 2 v v (1 +")6ln(1 +v)v6(1") 2 2 (b) Pour"et0ainsi choisis, en déduire que, pourx >0etuvériantjuj< 0x;on a 2 2 u u u (1+")uu(1") e6(1 +)e6e(3) 2x2x x
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5. (a)Soitf; g1etg2trois fonctions continues surR:On suppose que les fonctionsg1etg2admettent en +1une limite (nie) quon notera respectivementl1etl2et quil existeX0>0tel que, pour tout x > X0; g1(x)6f(x)6g2(x): Prouver que, pour tout" >0;il existeA2Rtel que (8x > A)l1"6f(x)6l2+"(4) (b) Prouverlexistence deh02]0;1[tel que, pour touthvériantjhj< h0, on ait 1 p 16jhj(5)   1 +h (c) Soit"2]0; h0[; 0associé à"comme à la question A.4.a) et2]0; 0[: Prouver quil existeB >0tel que, pour toutx > B;on ait x Z 1u xu 12"6p(1 +)e du61 +"(6) 2x x x (On pourra utiliser entre autres la question A.3.b))
PARTIE B p x x 1. Pourx >0;on poses(x) 2) = (x: e xt (a) Pourx >0;on notela fonction dénie par(t) =:t eEtudier les variations de la fonctionx xx surR+: (b) Justierque, pour toutvériant0<  <1;on a   0<(1)e <1et0<(1 +)e <1
(c) Prouverque, pour touttel que0<  <1;lintégrale
x(1) Z 1 xt J1(x) =dtt e s(x) 0
tend vers0lorsquextend vers+1:(On pourra utiliser les variations desur[0; x(1)]:) x (d) Prouverpareillement que, pour touttel que0<  <1;lintégrale
+1 Z 1dt x+2t J2(x) =t e 2 s(x)t x(1+)
tend vers0lorsquextend vers+1:
2. (a)Montrer enn que, pourxtendant vers+1;on a p x x L(x)2( )x: e (b) Endéduire un équivalent den!
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