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Mathématiques 2001 Classe Prepa B/L Concours Ecricome

3 pages
Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.
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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option lettres et sciences sociales
MATHÉMATIQUES
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Lénoncé comporte 3 pages
Année 2001
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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PROBLEME I n P1 Lentiernétant strictement positif, on pose:Sn=; k 1
an=Snln(n)etbn=an+1an:
1. (a)Montrer que pour tout réelx >1;ln(1 +x)6x: t nt (b) Endéduire que pour tout entiern >0;et pour tout réelt6n;(1)6e : n 2 t t t nt 2. Onveut montrer que pour touttde[0; n];(I) : 06e(1)6e : n n p (a) Etudierles variations de la fonctionh: [0; n]!Rdénie par :
2 t t h(t) =t+nln(1)ln(1): n n p (b) Endéduire que les inégalités(I)sont vraies pourt2[0; n[: p (c) Montrerquelles le sont encore sur[n; n]:
t t n ne(1) R n 3. OnposeIn=dt: t 0
(a) Justierlexistence de cette intégrale. (b) MontrerquelimIn= 0: n!+1
n1n R Pt k 4. (a)Exprimer(1)dten fonction deSn: n k=0 0 t n (b) Enutilisant une factorisation de1(1)montrer que : n t n Z n 1(1) n Jn=dt=Sn: t 0
1 5. (a)Donner le développement limité en;à lordre2;debn;quandntend vers linni; en déduire la nature Pn de la sériebn: (b) Montrerque la suite(an)nconverge; on désignera parla limite, que lon ne cherchera pas à calculer, de la suite(an)n: 6. (a)Justier lexistence des deux intégrales : 1 +1 Z Z tt 1e e K=dtetL=dt: t t 0 1 (b) Enétudiant lexpressionJnIn;montrer queKL=: 1t1=t R 1ee 7. Prouverla convergence et exprimer la valeur de lintégraleM=dten fonction de: t 0 xt xt R R 1e e 8. (a)Pourx >0;montrer quedt=+ lnx+dt: t t 0x
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  +1 t R e (b) Montrerque: limdt+ lnx=: x!0t + x +1 R t 9. Aprèsen avoir prouvé la convergence, calculer lintégraleN=elntdt: 0 10. Pouraetbstrictement positifs, justier la convergence et calculer les intégrales suivantes : +11 Z Z atbt ee t1 dtetdt: tlnt 0 0 PROBLEME II Dans ce problème,nest un entier naturel etM3(R)est lensemble des matrices carrées dordre3à coe¢ cients réels. 0 1 7 08 @ A Iest la matrice unitaire deM3(R)etMest la matrice4 1 4;représentant lendomorphismemdans 4 0 5 3 la base canonique deR: 1 2 1. (a)CalculerA= (MI);puisA : 4 n (b) Démontrerque pour toutndeN; M=I+unA; unétant le terme général dune suite réelle. n (c) Calculerun+1en fonction deun;puis en fonction den;en déduire lexpression deM : 0 1 1 02 2n @ A 2. SoitJla matriceJ1 1;= 1calculerJpuisJ;montrer queJnest pas inversible. 1 0 2 3. Onconsidère lensembleEdes matrices de la formeaI+bJaetbsont deux réels quelconques.
(a) MontrerqueM2E: n (b) Endéduire lexpression deMen fonction deIet deJ;comparer au résultat obtenu précédemment.
4. (a)Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants de lendomorphismejassocié à J;en déduire queMest diagonalisable. (b) Donnerla matricePde passage de la base canonique à une baseBdans laquelle la matrice dejest une matrice diagonaleD: n n (c) CalculerD;retrouver alorsM :
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