Mathématiques 2001 Classe Prepa B/L Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 101
• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option lettres et sciences sociales

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 3 pages

Année 2001

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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Tournez la page S.V.P

PROBLEME I n P 1 Lentiernétant strictement positif, on pose:S n =; k 1

a n =S n ln(n)etb n =a n+1 a n :

1. (a)Montrer que pour tout réelx >1;ln(1 +x)6x: t nt (b) Endéduire que pour tout entiern >0;et pour tout réelt6n;(1)6e : n 2 t t t nt 2. Onveut montrer que pour touttde[0; n];(I) : 06e(1)6e : n n p (a) Etudierles variations de la fonctionh: [0; n]!Rdénie par :

2 t t h(t) =t+nln(1)ln(1): n n p (b) Endéduire que les inégalités(I)sont vraies pourt2[0; n[: p (c) Montrerquelles le sont encore sur[n; n]:

t t n n e(1) R n 3. OnposeI n =dt: t 0

(a) Justierlexistence de cette intégrale. (b) MontrerquelimI n = 0: n!+1

n1 n R P t k 4. (a)Exprimer(1)dten fonction deS n : n k=0 0 t n (b) Enutilisant une factorisation de1(1)montrer que : n t n Z n 1(1) n J n =dt=S n : t 0

1 5. (a)Donner le développement limité en;à lordre2;deb n ;quandntend vers linni; en déduire la nature P n de la sérieb n : (b) Montrerque la suite(a n ) n converge; on désignera parla limite, que lon ne cherchera pas à calculer, de la suite(a n ) n : 6. (a)Justier lexistence des deux intégrales : 1 +1 Z Z tt 1e e K=dtetL=dt: t t 0 1 (b) Enétudiant lexpressionJ n I n ;montrer queKL=: 1 t1=t R 1ee 7. Prouverla convergence et exprimer la valeur de lintégraleM=dten fonction de: t 0 x t xt R R 1e e 8. (a)Pourx >0;montrer quedt=+ lnx+dt: t t 0 x

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  + 1 t R e (b) Montrerque: limdt+ lnx=: x!0 t + x +1 R t 9. Aprèsen avoir prouvé la convergence, calculer lintégraleN=elntdt: 0 10. Pouraetbstrictement positifs, justier la convergence et calculer les intégrales suivantes : +11 Z Z atbt ee t1 dtetdt: tlnt 0 0 PROBLEME II Dans ce problème,nest un entier naturel etM 3 (R)est lensemble des matrices carrées dordre3à coe¢ cients réels. 0 1 7 08 @ A Iest la matrice unitaire deM 3 (R)etMest la matrice4 1 4;représentant lendomorphismemdans 4 0 5 3 la base canonique deR: 1 2 1. (a)CalculerA= (MI);puisA : 4 n (b) Démontrerque pour toutndeN; M=I+u n A; u n étant le terme général dune suite réelle. n (c) Calculeru n+1 en fonction deu n ;puis en fonction den;en déduire lexpression deM : 0 1 1 02 2n @ A 2. SoitJla matriceJ1 1;= 1calculerJpuisJ;montrer queJnest pas inversible. 1 0 2 3. Onconsidère lensembleEdes matrices de la formeaI+bJoùaetbsont deux réels quelconques.

(a) MontrerqueM2E: n (b) Endéduire lexpression deMen fonction deIet deJ;comparer au résultat obtenu précédemment.

4. (a)Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants de lendomorphismejassocié à J;en déduire queMest diagonalisable. (b) Donnerla matricePde passage de la base canonique à une baseBdans laquelle la matrice dejest une matrice diagonaleD: n n (c) CalculerD;retrouver alorsM :

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