Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome
3 pages
Français

Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement

Description

Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 18 mars 2007
Nombre de lectures 148
Langue Français
ECRI COME Banqued´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS D’ADMISSION
option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2001 Aucuninstrumentdecalculnestautoris´e. Aucundocumentnestautoris´e. Le´nonce´comporte3pages
Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdele´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations. Tournez la page S.V.P
1
Tournez la page S.V.P
Exercice 1 x Soitfruseineond´nctilafoRparf(x) =ex 1. (a)De´terminerleslimitesdefen +et−∞ (b)Montrerquelacourberepr´esentativedefadmetuneasymptoteobliqueen−∞dont on donnera une ´equation. 2. Etudierles variations de la fonctionfet dresser son tableau de variations. 3. Montrerque pour tout entiernroeuri´eups2laa`´ugeqeau1´tionf(x) =nadmet deux solutions de signes contraires.Lasolutionpositiveseranot´eean. 4.Tracerlacourberepre´sentativedef. Faire apparaˆıtrea2eta3dra1prene.Onhiqutie´runumcopelrupargs sur les axes ete'2,7 5. Etudierles variations de la suite (an)n>1 6. Montrerque pour tout entiern>:e1na,oinlga´et´lian>lnn. Ende´duirelalimitedelasuite(an) quandntend vers l’infini.
Exercice 2    11 0 03 6    On donne les matrices suivantes:A= 6et8 12I31 0= 0 33 40 0 1 2 2 1. CalculerAuqrertnomteslr´eedeuxisteilexaetbdne´leouqmretreniletaeuqsA=aA+bI3. 1 2.End´eduirequeAest inversible et exprimerAen fonction deAetI3. 3. Soient(un) et (vnsd´euitesparnie)uesxeldsder´ionselatlesr:eercnceru u0= 0;v0= 1;un+1=un+vn;vn+1= 2un n Montrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiern>0, A=unA+vnI3. 4. (a) Onposexn=un+vn. Montrer que, pour tout entiern>0, on axn= 1. (b) Pourtout entiern>0, on poseyn= 2unvn. Montrer que la suite (ynse)e´gte´moqirtetue´eprseciarrssroalerimprExn.soaiynen fonction den. (c)End´eduirelesexpressionsdeunetvnen fonction den. 5. Montrerque pour tout entiern>0, on a    1 12 1 n nn A=(2).A+ +(2).I3 3 33 3 Cette formule est-elle encore valable pourn=1 ?
Exercice 3 Uneusinedisposededeuxchaˆınesdeproductiondampoules´electriques.Onsupposequelaprobabilite´quune ampoulesoitde´fectueuse`alasortiedeluneoulautrechaˆıneestde1%. OnsupposequelachaıˆneAtquelachparjouremaoplusebairuqnefnıˆaeBen fabrique m par jour. On appelle Xu´iqspeelaaraˆchenıeaunegalire´eatoae´lailbvaralbrfaesusuectfe´edseluopmaderbmoAun certain jour, et parYlavariabellae´taioere´agmbnoaulepoamdrefe´dseluesueutceriqusfabparl´eesıˆencaahBruojnO.eˆemcme suppose que les deux variablesXetYitdne´epsnondantes. 1.ReconnaıˆtrelesloisdeXetY.noes´rpelantatiusnje
2
2. Onteste une par une lesm+nbrfau´iqsueeerncopmaselutioneicatdeesrlpaurjointarbafedsenıˆahcxu on appelleSr´ev´el´uisesonttceususeeedse´efaleguneatoeae´iruopmqselrbmoadeae´lailbvaral.
(a)Reconnaıˆtrelaloidelavariableale´atoireS. (b) CommentexprimerSen fonction deXetY?
3. Onsuppose quen= 4000 etm= 6000.
(a) Justifierque l’on peut approcher la loi deSlamrnodepnotce´rerisesalrapaetm`er.sparuneloino (b)Enutilisantcetteapproximationetennetenantpascomptedelacorrectiondecontinuite´,calculerla probabilite´quelenombredampoulesd´efectueusesfabrique´escejoursoitcomprisausenslargeentre 95 et 105.
4.Lesampoulesenbon´etatsontvenduesdanslecommerceetonestimequeladure´edevieenheuresdechaque ampouleestunevariableal´eatoirere´ellequisuituneloiexponentielledeparam`etre0,001. Une personne ach`etedeuxampoulesquellemetenserviceaumˆememoment.Onsupposequelesdure´esdeviedeces deuxampoulessontinde´pendantes.
(a)Calculerlaprobabilite´quelesdeuxampoulesfonctionnentaumoins500heures. (b)Calculerlaprobabilit´epourquuneseuleampoulefonctionneencoreapre`s1000heures.
Valeursnum´eriquesapproche´es 112 5 e'0,368, ee'0,233, F( )'0,692, 3 11 Fncfolantr´deontiangise´dmaleinorr´eecentititperaalolnoedde´retiu.
Findel´epreuve
3