Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

Description

Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2001

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 213
• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banqued’´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS D’ADMISSION

option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2001 Aucuninstrumentdecalculn’estautoris´e. Aucundocumentn’estautoris´e. L’e´nonce´comporte3pages

Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdel’e´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations. Tournez la page S.V.P

1

Tournez la page S.V.P

Exercice 1 x Soitfruseinfieond´nctilafoRparf(x) =e−x 1. (a)De´terminerleslimitesdefen +∞et−∞ (b)Montrerquelacourberepr´esentativedefadmetuneasymptoteobliqueen−∞dont on donnera une ´equation. 2. Etudierles variations de la fonctionfet dresser son tableau de variations. 3. Montrerque pour tout entiernroeuri´eups2laa`´ugeqeau1´’tionf(x) =nadmet deux solutions de signes contraires.Lasolutionpositiveseranot´eea n . 4.Tracerlacourberepre´sentativedef. Faire apparaˆıtrea 2 eta 3 dra1prene.Onhiqutie´runumcopelrupargs sur les axes ete'2,7 5. Etudierles variations de la suite (a n ) n>1 6. Montrerque pour tout entiern>:e1na,oinl’ga´et´lia n >lnn. Ende´duirelalimitedelasuite(a n ) quandntend vers l’infini.

Exercice 2    1−1 0 03 6    On donne les matrices suivantes:A = 6− et 8 12 I 3 1 0= 0 3−3 40 0 1 2 2 1. CalculerA’uqrertnomteslr´eedeuxisteilexaetbdne´leo’uqmretreniletaeuqsA=aA+bI 3 . −1 2.End´eduirequeAest inversible et exprimerAen fonction deAetI 3 . 3. Soient(u n ) et (v n sd´euitesparfinie)uesxeldsder´ionselatlesr:eercnceru u 0 = 0;v 0 = 1;u n+1 =−u n +v n ;v n+1 = 2u n n Montrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiern>0, A=u n A+v n I 3 . 4. (a) Onposex n =u n +v n . Montrer que, pour tout entiern>0, on ax n = 1. (b) Pourtout entiern>0, on posey n = 2u n −v n . Montrer que la suite (y n se)e´gte´moqirtetue´eprseciarrssroalerimprExn.soaiy n en fonction den. (c)End´eduirelesexpressionsdeu n etv n en fonction den. 5. Montrerque pour tout entiern>0, on a    1 12 1 n nn A=−(−2).A+ +(−2).I 3 3 33 3 Cette formule est-elle encore valable pourn=−1 ?

Exercice 3 Uneusinedisposededeuxchaˆınesdeproductiond’ampoules´electriques.Onsupposequelaprobabilite´qu’une ampoulesoitde´fectueuse`alasortiedel’uneoul’autrechaˆıneestde1%. OnsupposequelachaıˆneAtquelachparjouremaoplusebairuqnefnıˆaeBen fabrique m par jour. On appelle Xu´iqspeelaaraˆchenıeaunegalire´eatoae´lailbvaralbrfaesusuectfe´edseluopma’derbmoAun certain jour, et parYlavariabellae´taioere´agmbnoaulepoamd’refe´dseluesueutceriqusfabparl´eesıˆencaahBruojnO.eˆemcme suppose que les deux variablesXetYitdne´epsnondantes. 1.ReconnaıˆtrelesloisdeXetY.noes´rpelantfiatiusnje

2

2. Onteste une par une lesm+nbrfau´iqsueeerncopmaselutioneicatdeesrlpaurjointarbafedsenıˆahcxu on appelleSr´ev´el´uisesonttceususeeedse´efaleguneatoeae´iruopmqselrbmoa’deae´lailbvaral.

(a)Reconnaıˆtrelaloidelavariableale´atoireS. (b) CommentexprimerSen fonction deXetY?

3. Onsuppose quen= 4000 etm= 6000.

(a) Justifierque l’on peut approcher la loi deSlamrnodepnotce´rerisesalrapaetm`er.sparuneloino (b)Enutilisantcetteapproximationetennetenantpascomptedelacorrectiondecontinuite´,calculerla probabilite´quelenombred’ampoulesd´efectueusesfabrique´escejoursoitcomprisausenslargeentre 95 et 105.

4.Lesampoulesenbon´etatsontvenduesdanslecommerceetonestimequeladure´edevieenheuresdechaque ampouleestunevariableal´eatoirere´ellequisuituneloiexponentielledeparam`etre0,001. Une personne ach`etedeuxampoulesqu’ellemetenserviceaumˆememoment.Onsupposequelesdure´esdeviedeces deuxampoulessontinde´pendantes.

(a)Calculerlaprobabilite´quelesdeuxampoulesfonctionnentaumoins500heures. (b)Calculerlaprobabilit´epourqu’uneseuleampoulefonctionneencoreapre`s1000heures.

Valeursnum´eriquesapproche´es −1−1− 2 5 e'0,368, e−e'0,233, F( )'0,692, √ 3 11 Fncfolantr´deontiangise´dmaleinorr´eecentititperaalolnoedde´retiu.

Findel’´epreuve

3