Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC
4 pages
Français
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement

Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
4 pages
Français

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 18 mars 2007
Nombre de lectures 89
Langue Français

Exrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument; Lusagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
1
Exercice 1 Partie 1 2 x x Soitftruoteinpeuod´ontincfolax´reelpar:f(x) = (1 +x+ )e 2 Ond´esigneparCfouacne.rrbs`pernusnalpudereenesr´epdavetita 1. (a)D´eterminerleslimitesdefen−∞et en +. (b) Etudierles branches infinies deCf. 2. 0 (a)D´eterminerlafonctionde´rive´efdefet dresser le tableau de variations def. (b)D´eterminerunee´quationdelatangente`aCfau point d’abscisse 0. Tracercettetangentedansunrep`ereorthogonaldunit´es:2cmsurlaxedesabscisseset10cmsur laxedesordonne´es. (c) Donnerl’allure deCfneutleeldsnacsmeˆemerep`ere.etve´setotpmysases On donne les valeurs suivantes:f(1)1,36 ;f(1)0,92 ;f(2)0,68 ;f(5)0,12 Partie 2 Mf,tiduengise´erbromnnsipoel´enun entier naturel. M MM R RR nx0xx Onde´nitlint´egrale:In(M) =x edx,en convenant queI0(M) =dxx e=e dx 0 00 1. (a) CalculerI0(M) +R x (b)Ende´duirequelinte´graleimpropree dxest convergente. On noteI0sa valeur. 0 2. (a)Alaideduneint´egrationparparties,trouverunerelationentreIn+1(M) etIn(M). +R nx (b)Ende´duire,a`laideduner´ecurrence,quepourtoutentiernaturelnprroerglaiepml,itne´dxx e 0 est convergente , de valeurIn=n!. (c)ae´rerte`.lesignd´earameunp g(x) =a.f(x) six>0 Soit la fonctiongserunied´Rpar g(x) = 0 six <0 De´terminerapour quegoire´ietastoleedaulnbairavenude´tilbibaroepedt´sienZ. Calculeralorslesp´eranceE(Z) et la varianceV(Z).
Exercice 2 Partie 1 Onconside`redansM3(R) les 4 matrices suivantes:   1     0 0 1 0 01 0 01 0 0 4 1      M= 33 1;P=2 11 ;D;= 01 0I= 01 0   4 1 0 1 31 1 10 0 1 0 0 2
2
1. 1 (a) MontrerquePest inversible et calculerP (lesde´tailsdescalculsgurerontsurlacopie). 11 (b)V´erierque:PP M=Dpuis exprimerMen fonction deP,DetP. 2. n (a) Pourtout entier naturelnnon nul, exprimer les coefficients de la matriceD. n n1 (b) Pourtout entier naturelnnon nul, exprimerMen fonction deP,DetP. n Ende´duirelescoecientsdeMen fonction den. 3. 1 (a) MontrerqueDest inversible et calculerD. 111 (b)Ende´duirequeMest inversible et exprimerMen fonction deP,DetP. Partie 2 On effectue des tirages dans trois urnes: – Uneurne blanche contient 1 boule blanche et 3 boules noires. – Uneurne noire contient 3 boules noires et 1 boule verte. – Uneurne verte contient 1 boule noire et 3 boules vertes. Pour le premier tirage, on choisit une urne au hasard, on y prend une boule, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne dont elle provient. Lesecondtiragealieudanslurneayantlamˆemecouleurquelapremie`rebouleobtenueaupremiertirage:ony prend une boule, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne dont elle provient. Oncontinueainsiensuivantlemˆemeprotocole: `eme`eme le (neluouqrubaleeluoteob+e1a)nuutirageseceutdenalsurneayantlamˆemecntirage, et une boule tir´eeesttoujoursremisedanslurnedontelleprovient. Pournneigr:patiernatuen,lno´dseernlnoun Bnlv´´eelmene:tnene`ieunedonnragemeti.cnehbealoblu Nnlt:enemenv´´elenodegariteme`i-.uennobenneluerio Vn´elenv´enem:tlengedonneuneboulevi-e`emitar.etre 1. (a) CalculerP(B1),P(N1) etP(V1). 1 7 (b) EtablirqueP(B2) =etP(N2) = 48 12 2. 1 (a) Montrerque pour tout entier naturel non nuln:P(Bn+1) =P(Bn) 4 De quel type est la suite (P(Bn))n>1ire´edu?EndP(Bn)en fonction den.   P(Bn)   (b)Msegi´damrtenal´enicedlapaie`anO.1eitresopXn=P(Nn) P(Vn) Enutilisantlaformuledesprobabilit´estotalesaveclesyst`emecompletd´eve´nements{Bn,Nn,Vn}, e´tablirque:Xn+1=M Xn. n1 (c)Montrerparre´currencequepourtoutentiernaturelnnon nul,Xn=M X1. 3.Ende´duireP(Nn) etP(Vn)en fonction dendequanrmte´etdelruniretiselsmintend vers +.
3
Exercice 3 (Ontrouveraa`landelexercicedesextraitsdetabledeloisusuelles)
nulplargsuqdn.2eneunentiernature´dsegi 2 On dispose d’une urne contenant 2nboules noires etn2nboules blanches. Unjeuconsistea`eectuernledeuobarcevsimeurte,aneanedetscuenobluecssfidsragessuctiesapr`r´eeleti chaque tirage. Unjoueurestde´clare´gagnanta`lissuedujeusilatire´auplus2boulesnoiresaucoursdesntirages. Unjoueurparticipea`cejeusuivantlesdeuxsituationsdistinctessuivantes:
I. Situation 1: Dans cette situation, n=20 Onde´signeparplaprobardboetinbalitie´loreoienulbonerupte,egaritnudsrXeal´iablavarlaeugelari´eaeot nombredeboulesnoirestir´eesparlejoueura`lissuedujeu. 1. (a)D´ecrirelecontenudelurnepuiscalculerlaprobabilite´p. (b) Reconnaˆıtrela loi deX. (Onjustieraclairementlar´eponseetonpr´eciseraX(Ω) etP(X=k)tnt´el´eme,pourtoukdeX(Ω)) (c)Donnerlesp´eranceE(X) et la varianceV(X). 2.Calculerlaprobabilit´equelejoueursoitgagnantdanscettesituation. II.Situation2:Danscettesituation,nestunentierx´esup´erieurou´egala`30. 0 Ond´esigneparpagirete,sdorntuorpalrapbtenedolit´babirileelonbeuorinuY´egaleau´eatoirebairlaelaval nombredeboulesnoirestire´esparlejoueur`alissuedujeu. 1. 2 0 (a)V´erierquep= . n (b) Reconnaˆıtrela loi deY. (Onjustieraclairementlare´ponseetonpre´ciseraY(Ω) etP(Y=kruottue´´lmenet),pokdeY(Ω)) (c)Donnerlespe´ranceE(Y) et la varianceV(Y). 2. (a)Justierquelaloideprobabilite´deYperteˆtueesarelnorpe´icapeeenurrppa´hcoonssntdoidlooieP param`etreetdontonrappelleralescaracte´ristiques:ensembledesvaleurs,loideprobabilite´,esp´erance, variance. (b)Alaidedecetteapproximation,calculer,`alaidedelatablefournieci-dessous,laprobabilit´equele joueur soit gagnant dans cette situation. Retrouvercettevaleursanslatablea`laidedelapartie1delexercice1. Extrait de la table (k,P(n,p,k)). Extrait de la table (k,P(λ,k)) de la loi binomiale de taillene`marapeerttd0e=2 p= 0,edapar`mteerdelaloidePoisson1λ= 2 k0 1 2 3k0 1 2 3 P(n,p,k) 0,1216 0,2702 0,2852 0,1901P(λ,k) 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804
4
  • Accueil Accueil
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • BD BD
  • Documents Documents