Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 64
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION TECHNOLOGIQUE

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument; L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.

Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

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Exercice 1 Partie 1 2 x −x Soitftruotfieinpeuod´ontincfolax´reelpar:f(x) = (1 +x+ )e 2 Ond´esigneparC f ouacne.rrbs`pernusnalpudereenesr´epdavetita 1. (a)D´eterminerleslimitesdefen−∞et en +∞. (b) Etudierles branches infinies deC f . 2. 0 (a)D´eterminerlafonctionde´rive´efdefet dresser le tableau de variations def. (b)D´eterminerunee´quationdelatangente`aC f au point d’abscisse 0. Tracercettetangentedansunrep`ereorthogonald’unit´es:2cmsurl’axedesabscisseset10cmsur l’axedesordonne´es. (c) Donnerl’allure deC f neutleeldsnacsmeˆemerep`ere.etve´setotpmysases On donne les valeurs suivantes:f(−1)≈1,36 ;f(1)≈0,92 ;f(2)≈0,68 ;f(5)≈0,12 Partie 2 Mf,tiduengise´erbromnnsipoel´enun entier naturel. M MM R RR n−x0−x−x Onde´finitl’int´egrale:I n (M) =x edx,en convenant queI 0 (M) =dxx e=e dx 0 00 1. (a) CalculerI 0 (M) +∞ R −x (b)Ende´duirequel’inte´graleimpropree dxest convergente. On noteI 0 sa valeur. 0 2. (a)Al’aided’uneint´egrationparparties,trouverunerelationentreI n+1 (M) etI n (M). +∞ R n−x (b)Ende´duire,a`l’aided’uner´ecurrence,quepourtoutentiernaturelnprroerglaiepml,i’tne´dxx e 0 est convergente , de valeurI n =n!. (c)ae´rerte`.lesignd´earameunp  g(x) =a.f(x) six>0 Soit la fonctiongseruniefid´Rpar g(x) = 0 six <0 De´terminerapour quegoire´ietastoleedaulnbairavenu’de´tilbibaroepedt´sienZ. Calculeralorsl’esp´eranceE(Z) et la varianceV(Z).

Exercice 2 Partie 1 Onconside`redansM 3 (R) les 4 matrices suivantes:   1     0 0 1 0 01 0 01 0 0 4 1        M= 33 1;P=−2 1−1 ;D;= 01 0I= 01 0   4 1 0 1 31 1 10 0 1 0 0 2

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1. −1 (a) MontrerquePest inversible et calculerP (lesde´tailsdescalculsfigurerontsurlacopie). −1−1 (b)V´erifierque:PP M=Dpuis exprimerMen fonction deP,DetP. 2. n (a) Pourtout entier naturelnnon nul, exprimer les coefficients de la matriceD. n n−1 (b) Pourtout entier naturelnnon nul, exprimerMen fonction deP,DetP. n Ende´duirelescoefficientsdeMen fonction den. 3. −1 (a) MontrerqueDest inversible et calculerD. −1−1−1 (b)Ende´duirequeMest inversible et exprimerMen fonction deP,DetP. Partie 2 On effectue des tirages dans trois urnes: – Uneurne blanche contient 1 boule blanche et 3 boules noires. – Uneurne noire contient 3 boules noires et 1 boule verte. – Uneurne verte contient 1 boule noire et 3 boules vertes. Pour le premier tirage, on choisit une urne au hasard, on y prend une boule, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne dont elle provient. Lesecondtiragealieudansl’urneayantlamˆemecouleurquelapremie`rebouleobtenueaupremiertirage:ony prend une boule, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne dont elle provient. Oncontinueainsiensuivantlemˆemeprotocole: `eme`eme le (neluouqrubaleeluoteob+e1a)nuutirage’sffeceutdenalsu’rneayantlamˆemecntirage, et une boule tir´eeesttoujoursremisedansl’urnedontelleprovient. Pournneigr:patiernatuen,lno´dseernlnoun B n l’v´´eel”mene:tnen−e`ieunedonnragemeti.”cnehbealoblu N n ”lt:enemenv´´el’enodegariteme`i-”.uennobenneluerio V n ´el’env´enem:tl”engedonneuneboulevi-e`emitar.”etre 1. (a) CalculerP(B 1 ),P(N 1 ) etP(V 1 ). 1 7 (b) EtablirqueP(B 2 ) =etP(N 2 ) = 48 12 2. 1 (a) Montrerque pour tout entier naturel non nuln:P(B n+1 ) =P(B n ) 4 De quel type est la suite (P(B n )) n>1 ire´edu?EndP(B n )en fonction den.   P(B n )   (b)Msegi´damrtenal´efinicedlapaie`anO.1eitresopX n = P(N n ) P(V n ) Enutilisantlaformuledesprobabilit´estotalesaveclesyst`emecompletd’´eve´nements{B n ,N n ,V n }, e´tablirque:X n+1 =M X n . n−1 (c)Montrerparre´currencequepourtoutentiernaturelnnon nul,X n =M X 1 . 3.Ende´duireP(N n ) etP(V n )en fonction dendequanrmte´etdelruniretiselsmintend vers +∞.

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Exercice 3 (Ontrouveraa`lafindel’exercicedesextraitsdetabledeloisusuelles)

nulplargsuqdn.2eneunentiernature´dsegi 2 On dispose d’une urne contenant 2nboules noires etn−2nboules blanches. Unjeuconsistea`effectuernledeuobarcevsimeurte,aneanedetscu’enobluecssfidsragessuctiesapr`r´eeleti chaque tirage. Unjoueurestde´clare´gagnanta`l’issuedujeus’ilatire´auplus2boulesnoiresaucoursdesntirages. Unjoueurparticipea`cejeusuivantlesdeuxsituationsdistinctessuivantes:

I. Situation 1: Dans cette situation, n=20 Onde´signeparplaprobar’dboetinbalitie´loreoienulbonerupte,egaritnu’dsrXeal´iablavarlaeugelari´eaeot nombredeboulesnoirestir´eesparlejoueura`l’issuedujeu. 1. (a)D´ecrirelecontenudel’urnepuiscalculerlaprobabilite´p. (b) Reconnaˆıtrela loi deX. (Onjustifieraclairementlar´eponseetonpr´eciseraX(Ω) etP(X=k)tnt´el´eme,pourtoukdeX(Ω)) (c)Donnerl’esp´eranceE(X) et la varianceV(X). 2.Calculerlaprobabilit´equelejoueursoitgagnantdanscettesituation. II.Situation2:Danscettesituation,nestunentierfix´esup´erieurou´egala`30. 0 Ond´esigneparpagirete,sdornt’uorpalrapbtened’olit´babirileelonbeuorinuY´egaleau´eatoirebairlaelaval nombredeboulesnoirestire´esparlejoueur`al’issuedujeu. 1. 2 0 (a)V´erifierquep= . n (b) Reconnaˆıtrela loi deY. (Onjustifieraclairementlare´ponseetonpre´ciseraY(Ω) etP(Y=kruottue´´lmenet),pokdeY(Ω)) (c)Donnerl’espe´ranceE(Y) et la varianceV(Y). 2. (a)Justifierquelaloideprobabilite´deYperteˆtueesarelnorpe´icapeeenurrppa´hcoonssntdoidlooieP param`etreetdontonrappelleralescaracte´ristiques:ensembledesvaleurs,loideprobabilite´,esp´erance, variance. (b)Al’aidedecetteapproximation,calculer,`al’aidedelatablefournieci-dessous,laprobabilit´equele joueur soit gagnant dans cette situation. Retrouvercettevaleursanslatablea`l’aidedelapartie1del’exercice1. Extrait de la table (k,P(n,p,k)). Extrait de la table (k,P(λ,k)) de la loi binomiale de taillene`marapeerttd0e=2 p= 0,edapar`mteerdelaloidePoisson1λ= 2 k0 1 2 3k0 1 2 3 P(n,p,k) 0,1216 0,2702 0,2852 0,1901P(λ,k) 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804

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