Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 455
• Langue: Français

Extrait

Ecricome 2004, Option Technologique

EXERCICE 1 L’exerciceseproposed’e´tudierlasuite(u n ) n∈N de´ap:rnfiei  u 0 = 0 ∀n∈N, u n+1 =f(u n ) −x x La fonctionfnfieiusrt´enadte´Rpar : pour toutxr´e,lef(x) = eln(1 + e).

Partie1:Etuded’unefonctionginterm´ediaire. + Onconside`relafonctionde´finiesurRpar : t ∀t>0, g(t) =−ln(1 +t) t+ 1 0+ 1)dne´ir´veete´Derminerlafonctiogdeget en donner son signe surR. 2)ude´dnEofcnedalitnoesvairelionsriatget montrer que :∀t>0, g(t)60.

Partie 2: Etude de la fonction f.

0 −x x 1)ntrerqueD´emotuotruop,ano’lxr:el´ef(x) = eg(e ) 2)Etudier alors les variations de la fonctionf. ln(1 + e) 3)Sachant que ln 2'0.69 et que'0.48, montrer que l’on a,pour toutxde l’intervalle e [0,1] : 06f(x)61

Partie 3: Convergence de la suite(u n ) n∈N

1)Justifier que pour toutxde [0,1] : 0 |f(x)|6|g(e)| 2)notcoin`drelefasionncOhur[0d´efinies,1] par :h(x) =f(x)−x. a)Montrer quehr[0tteuseuse´dtnemenassiorctincfonectriston,1]. b)uqlevureauit´’qeonProh(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0,1]. c)nE´ddeiuernoitauqe´’leuqf(x) =xadmet une unique solutionαsur [0,1]. 3)treremonD´touepourtnerruqecrrapuce´nentier naturel : 06u n 61 4)Montrer que, pour toutnentier naturel : |u n+1 −α|6|g(e)|.|u n −α| Ainsi que : n |u n −α|6|g(e)| 5)Sachant que|g(e)|<0.imentere,6´ddetemililarslora(etiusalu n ) n∈N lorsquentend vers +∞.

EXERCICE 2 Onconsid`erelessuitesre´ellesuetv´efindarleiespmeeirurpemtrreu 0 = 1,v 0 = 0 et les relations der´ecurrence:  1 1 3   u n+1 =−u n −v n − 4 2 4 ∀n∈N, 5 3   v n+1 =u n +v n − 4 4 ( w n =u n +v n + 6 1 3 1)On pose :∀n∈N, t n+1 =u n +v n + 2 2 a)Montrer que les suites (w n ) n∈N et (t n ) n∈N e´gsetiuqirte´moesniefid´ssdentsoniisaues. b)rD´eterminew n ett n en fonction de l’entiern. c)Montrer que les suites (w n ) n∈N et (t n ) n∈N sont convergentes et donner leur limite. d)irdu´endEssuites(grneecedlecanoevu n ) n∈N et (v n ) n∈N et donner leur limite. 2)On noteAte2,eatamlrrcacerilee´ree´rdro’delBlaiceumatrolnninocleelree´´e,diefinarsp:    u n+1 u n =A+B. v n+1 v n a)ExpliciterAetB.   1 1 b)SoitP= . –1 –2 −1 De´montrerquelamatricePterete´dbielevsrrseinversonmineinsteP. −1 c)Montrer que la matriceD=P APest diagonale. d)Ierqreu´:er,2omtnta´terdi’coercdaertra´neteluanim −1 P(D−I)P=A−I −1 e)leuqtamade´deriuEnriceA−Iimenterete´dbielversstinee(rsveinonrsA−I) . f )’lerduose´Re´uqtaoi:n (A−I)X+B= 0   x 1 o`uX=einlennco.uealtsrtamrecilee´ x 2  ! limu n n→+∞ g)´eVerfinirefi:qneuX= limv n n→+∞ EXERCICE 3 Chaquejour,uneentrepriseenvoieuncolis.Elleutiliselesservicesdessoci´ete´sdetransportA ouB. Laprobabilite´pourquelasoci´ete´Alivre le colis avec retard est de 0.1ola,uqsrpalebarolibiet´ pourquelasocie´t´eBlivre avec retard est de 0.nO.2lesoppusrdtareesssceucssdne´fiisnastepdn. Onseproposed’´etudierdiversessituationslie´esa`cesdonne´es.Leshypothe`sesdonne´espourune situation ne sont valables que pour une seule situation. Partie 1: Situation 1 L’entreprised´ecided’utiliserlasocie´te´Apendantnurjocsno´scetufi.s(n´etantunentier naturel non nul). On noteXvalaabrialleerrivlisalecoaulega´ereoiat´eu`osruojederbmon en retard. 1)derlneoialreim´DteX. 2)ceDoesp´eranruel’ledrennavalE(X) deX. 3)ice´´teaLosArvilosianpsraueorlsviocilansrr´esd,laetareyaptiaftne’la`reuisprree8xdrinp e´tantgratuitepourtoutcolislivre´avecretard.OnnoteWxiap´ypera’lnerteprisesurlepr unep´eriodedenjours. a)ExprimerWen fonction deX. b)e’lrape´sirpertnp´lauresdedeioerdeiunE´dprixrelenpaymoyenjours. 2

Partie 2: Situation 2 Pourdesraisonstarifaires,l’entreprised´ecided’utiliserlasoci´ete´Bdans 60% des cas, et la socie´t´eAdans 40% des cas. 1)equelit´lisalecoeernrrvi.dterannodc,e´nUruojroapbibacualrlle 2)rd.Quelleestlaprbobalitie´uqi’al´eitelt´r´ivarepaldourjoUnec,l´ennirrasiloaterneev socie´te´A? Partie 3: Situation 3 L’entreprisetentel’exp´eriencesuivante:`apartird’unjourdonne´quel’onnoteralejour 1,ellede´cided’utiliserlasoci´et´eAssilocnu´rviltioquus,ju’eqac’`itrcreteaveAparard. dujoursuivant,elleutiliseralasocie´t´eB. On noteYtaioererrpe´estnnalltaveariableal´e nume´rodujouro`upourlapremie`refoisl’entrepriseutiliselasoci´ete´B. ∗ 1)Justifier que l’ensemble des valeurs prises parY´esteal`gaN\ {1} ∗k−2 2)Montrer que :∀k∈N\ {1}P(Y=k) = (0.1)(0.9) +∞ X 3)elraclacire´prefiVe:ulquP(Y=k) = 1. k=2 Partie 4: Situation 4 Onsupposequelamassed’uncolis,exprime´eenkilogrammes,estunevariableal´eatoireMqui suituneloiexponentielledeparame`tre2. 1)re’lppleseisxerpunedond’t´edensieRaMpartitioionder´e.nelquxp’e,asiinfasetcnosserdnoi 2)realaveloDnnceanerp´esl’deuredM. 3)vinaseuset:sxactursevalerlesil´tabibpsorseedenimrete´D P(M61.5), P(M>2), P(1.56M62) 4)prleerulvoend’ixclacruoPs,lasoci´et´emuldiu’cnlosineueorogilmmraelpitaleissamknee du colis par deux, auquel elle ajoute une taxe forfaitaire de 3 euros. On noteE, le prix d’envoi d’un colis. a)ExprimerEen fonction deM. b)pe´rednonoititraofalitcnmretreni´eDGdeE.

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