Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 472
• Langue: Français

Extrait

Epreuve ESC 2005, option scientifique

EXERCICE 1   a c b   Pourtouttripletdere´els(a, b, c) on poseM a,b,c =c a+b c. b c a 1)(sdtree´leJrqfietiusotruopeuelpirttua, b, c) la matriceM a,b,c est diagonalisable.   3 2)On poseE=M a,b,c ,(a, b, c)∈R. Montrer queEest unRisne.nounraasebtleeimadleirotcevecapse-nemieretd´onntdo 3 3)On poseC=M 0,0,1 ethl’endomorphisme deRde matriceCdans la base canonique de 3 R. 2 3 a)CalculerCetCrenuoDnnˆnmoopyldrueennae.taluC. b)elirvaesndEdu´eedserppacesprossous-esrpseteelelrupsorh. 3 c)Donner une base deRm´orfourresprppouesrevtceeedh´retehpo,neotromeproourludti 3 scalaire canonique deR. 3 4)On poseB=M 0,1,0 etgl’endomorphisme deRde matriceBdans la base canonique de 3 R. a)Montrer quegethcommutent. b)Montrer que tout vecteur propre dehest un vecteur propre deg. c)deiueruqenE´dgethseualsvlereopprrssnadmenuasilselbdoeternnmeˆesebatdiagonason deg. 5)a)ExprimerM a,b,c en fonction deI,B,Cselrse´teeda,betc. b)ee-pscaserppoerdspropresetlessousiudeelerlavssrued´EnM a,b,c 6)Soitcnue.x´lfieer´ 3 3 Onconside`rel’applicationΦ c :R×R→Rtelel´es(etplersduotrirtsuqeluopex, y, z) et 0 0 0 (zx ,y ,) :    0 x x   0 0 0t 0 0 0    Φ c (x, y, z),(zy ,x ,) =XM 2,1,c X`ouX=yetX=y 0 z z √ √ On poseu 1 = (−1,0,1), u 2 = (1,2,1), u 3 = (1,−2,1). 3 a)Montrer que Φ c teiruqdeermfonetues´myseriae´nilibeR. b)Calculer les 6 valeurs Φ c (u i , u j ) pour 16i6j63. h i   3 3 c)ΦEtablir : c (u 2 , u 2 )>0 et Φ c (u 3 , u 3 )>0⇐⇒c∈ − √ ; √ . 2 2 3 d)ssrdeel´eete´Dl’erinrmlembseenctels que Φ c essirpnudnfie´lairesuroduitscaR.

EXERCICE 2 3 Onconside`re,enadmettantpourl’instantsonexistence,lafonctionfrsuiefin´edRpar :   Z +∞ 2 4c 4   a+ 2bt+t 2 3 −abc−t f(a, b, c) = √ e dt π −∞ Z +∞ 2 k−t 1)a)eelaqlugnrt´’eionMertrte dtconverge pour tout entier naturelk. On la noteI k . −∞ b)Montrer que pour tout entier naturelk,I 2k+1 = 0. 2 c)A l’aide du changement de variableu=tmontrer que pour tout entier naturelk:    1 1 I 2k = Γkrueledsleriavse´edu.End+I 2 etI 4 .en fonction de Γ 2 2 1 2 d)Eunitilrnmsailte´ed’sunaenltoliandoeN(0, σ) avecσ= √ , calculerI 0 . 2  1  1 √ 3 √ End´eduireΓ,puisI 2 =πetI 4 =π. 2 24    −abc e)peuoeruqdeiunE´dsel´esrourta,b,c,f(a, b, c) existeetf(a, b, c() =a+b+c)e . 2 3 2)a)Montrer quefest une fonction de classeCsurR. b)´erilesdsparv´eennreoDedselleitd1erdro’f. c)rotnpaDllieidv´eersersl´neeed2e’dserdrof. 3)a)On suppose que (α, β, γ) est un point critique def. 1   1 1 11 3 Montrer queαβγ6End´.==euqtee0=eruqdeiuα=β=γ= αβ αγ βγ3  1 1 1      1 1 1 3 3 3 Re´ciproquement,v´erifierquelepointA=, ,est bien un point critique 3 3 3 def. b)Donner la hessienne defau point critiqueA.   1 4 4 3   4)Soithl’endomorphisme deRde matriceHa`tnemevitaler441=noniquelabaseca 4 4 1 3 deR.   a)Montrer que la familleF= (1,1,1),(−1,0,1),(1,−2,essu´et´tesivan)la1poirserp • Frospurtedeesprmroftsecevedee´h. 3 • Fest orthogonale pour le produit scalaire canonique deR. 3 • Fest une base deR.   x 3 1 t 22 2   b)Montrer que siX=y, alorsXHX= 3(x+y+z)−(z−x)−(x−2y+z) . 2 2 z c)´endirduEtnieuqeopelAest un point col def.

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EXERCICE 3 Danstoutl’e´nonce´S´x.enlnounfilnaerretuunnetien´dgise Une urne contient initialement 4Sboules indiscernables au toucher, dontSboules rouges,S boules vertes et 2Sboules bleues. On effectue des tirages successifs d’une boule, au hasard, avec le protocole suivant : Silabouletire´eestrougeonnelaremetpasdansl’urne,maisonremetdansl’urneuneboule bleue. Silabouletir´eeestverteonlaremetdansl’urne. Silabouletire´eestbleueonnelaremetpasdansl’urne,maisonremetdansl’urneuneboule rouge. On note pour tout entier naturel non nuln,X n lvaraailbaeeal´irtoege´eaalmonuderbuobesel rougespre´sentesdansl’urneapr`eslenotetonnege,itare`emi-X 0 arialavintaeriotreceaelbae´l e´gale`aS. On rappelle que siAlunnone´teelprdentmeitilabobn´ev´ene´esigneudXerenuablevariatoial´e discr`ete,E(X/Aedees)’etl´espncraXleelruoprpalbaboilit´econditionnP A : X E(X/A) =xP A (X=x) x∈X(Ω) 1)´eterminerlaloideDX 1 p´esaner.ceelactelucnosr 2)´eDnireetmrdiealolX 2 alcuetconeslersecnare´p. Onsupposede´sormaisquengelaa`2irueor´uiersup´eestunentS, de sorte que : X n (Ω) ={0, . . . ,3S} 3)a)Soitka`antnraetrappntieune{1, . . . ,3S−1}. Quelleestlacompositiondel’urnelorsquel’e´ve´nement(X n =kree´lasi?e)s End´eduirelaloideX n+1 (cnoitidnonemellenev’´alt`ntmene´eX n =k).   1 3 b)Montrer alors queE(X n+1 /X n =k1) =−k+ . 2S4 Cette formule est-elle encore vraie lorsquek= 0 ? lorsquek= 3S?   1 3 c)etotrancsp´eel’eeulaqedu´endEdelumrofalraperiE(X n+1 ) =1−E(X n .) + 2S4 4)On note pour tout entier naturelnouurieera2l`ga´e´pusS:u n =E(X n ).   1 3 a)terminerler´eelDe´αtel queα= 1−α+ . 2S4 b)Montrer que la suite (u n −α) n>2S iruq´mte´goeetse. c)ednoisserpxel’reuiedd´Enu n en fonction den,S, etu 2S . 3S d)Montrer quelimE(X n ) =. 2 n→+∞

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