Mathématiques I 1999 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 1999
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 209
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreropudbisselele´rsnsdamelaresucllu.ssultatsdeleursca Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel’e´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’´enonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamene´`aprendre.

Danstoutceprobl`eme,onde´signepar: a)Eun espace euclidien de dimensionp>1 dans lequel le produit scalaire de deux vecteursxety´eottnes < x,y >. b)S(Eseysihmsiruq´mteldesoriemorpendose’l)tcevecapdeesE. On rappelle qu’un endomorphismeuest dit sym´etriques’ilv´erifie< u(x),y >=< x,u(y)>pour tout couple (x,y`anantarteasppetruveced)E. c)T(E) le sous-ensemble deS(Eriquesessym´etomprihmsdeseneodstonu´it)cugestinf´dontleranreeiruuo e´gal`a1etquiv´erifient< u(x),x >>0 pour tout vecteurxrtenappaana`tE. Dans lapartie I,ppraetantna`leitcr´endoasemsihpromodnesT(E) puis, dans lapartie II,on munit l’espace vectorielS(Erpdo’dnuacaliustton´ireeieauetudaledsnesssaemronleeei´oceulleismsedsmaxiontisareropp) e´le´mentsdeS(Enestedes´el´em)pardT(E).

Pr´eliminaire:Traced’unematriceetd’unendomorphisme. Ond´esigneparM p (R)esldtrmaesicrrcase’lecaptceveirodree´se´reellse’drop>1.Onassociemetuota`ecirta = (a i,j pp)aa`ntnatearM p (Rtr(t´ees)econtaarAr´:efin)ieetpda p X tr(A) =a k,k =a 1,1 +a 2,2 +∙ ∙ ∙+a p,p k=1 a. SiA= (a i,j ) etB= (b i,j a´d)deuxmatresignenttrnena`tcisepaapM p (R), expliciter tr(AB) et montrer que tr(AB) = tr(BA). 0 0 b. SiMetMxuedtnensecirtambllambsertpaapesnena`taesigd´M p (Rdsece)e,dn´eduirequelestraMet Mlegas.ose´tn Dans la suite, on appelletrace d’un endomorphismedeEla valeur commune de la trace de ses matricesM relativementauxdiffe´rentesbasesdeE.

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PartieI:Etudedes´ele´mentsdel’ensembleT(E). 1.Sous-espaceorthogonala`unvecteurnonnulxdeE. Onconside`redanscettequestionunvecteurnonnulxppaa`antnraetE. (a) Pourtout vecteurva`tnarappanetE, exprimer en fonction dexetvnuqieuon’llmbrer´eeλ(v) tel que le vecteurv−λ(v)xtrohogansiootal`x. (b) Enremarquant que tout vecteurvnt`atenapparaEerosceirst´’puee:rmfolaus v=λ(v)x+ (v−λ(v)x) (1) e´tablirqueladroitedirig´eeparlevecteurxet le sous-espaceXcotins´etuceetedvserudsEorthogonaux au vecteurxsdreaintsanstnoseme´lppuE. 2.Ele´mentdeT(Ess)adecevnruet´icoua`eE. A tout vecteur non nulxdeE, on associe l’applicationu x , deEdansEfie´dar:niep u x (v) =< x,v > x (a) Montrer queu x patraptneia`T(Eamrtcidee,p)s´uirieclareu x dans une base deEudee´uconstit vecteurxet d’une base du sous-espaceXol`aogantrohx. End´eduirelatracedeu x et la trace deu x ◦u x en fonction dex. (b)D´eterminerenfonctiondexles valeurs propres et les sous-espaces propres deu x . (c)Onde´signeparfun endomorphisme deE. Al’aidedelaformule(1),expliciterles´ele´mentsdiagonauxdelamatricedef◦u x , dans une base de Eu´itdueectvereuctsnoxet d’une base du sous-espaceXogohtroanal`xnd´euise,pedarecletaudri f◦u x en fonction dex. 3. VecteursdeEun´el´emoci´es`assanedteT(E). Atout´ele´mentnonnuludeT(E), on associe un vecteur non nulxde la droite Imu. (a) Montrerquexest vecteur propre deuuqlevalaueprorrpeassoci´eeetµest positive. (b) Al’aide de la formule (1), montrer que l’on a pour tout vecteurvetanppratnaa`E: µ u(v) =< x,v > x 2 kxk (c)Ende´duirequelavaleurpropreµest strictement positive et qu’il existe un vecteurydeEau moins tel queu=u y urteectvc,telqdire-`a-’esttruoptuonoiaeu’lvtearppaa`tnanE: u(v) =< y,v > y (d) L’applicationdeEdansT(Eteuras)osicna`ttauovtcexappartenanta`El’endomorphismeu x deT(E) de´finiparu x (v) =< x,v > xest-elle injective? surjective?

PartieI:Approximationdes´ele´mentsdeS(E)see´´lmeapdrdetsenT(E). Onassociea`toutcouple(f,gantnar`aetasppsiemorphndom)d’eS(E)eleel:er´ronbm [f,g] = tr(f◦g) valeur commune de la trace des matrices def◦grletavimeentauxdiff´erentesabsedseE. Ainsi, lorsque l’espace euclidienErappestparesroenab`euaro´tlansdalemaoronthengise´dnoelleuqA= (a i,j ) etB= (b i,j amrtcisel)seetm´qurilo(asyrsd)seefetg:, on a [f,g] = tr(AB) 1. Unproduit scalaire sur S(E). (a)Montrerquel’applicationassocianta`toutcouple(f,gnant`a’e)domndrohpsiemasppraetS(E) le nombre re´el[f,g] = tr(f◦g) est un produit scalaire surS(E). p On noteraNeriae´d,tiudlacsace`roepsoas´eciroemlnafinieparN(f) =[f,f].

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