Mathématiques I 1999 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

Description

Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques I 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 1999

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 85
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE MATHEMATIQUES I

Lapre´sentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautoris´ee.

Danstoutleproble`mel’espe´ranced’unevariableale´atoireYsreanot´eeE(Yemoˆcedspselnylomeroep`ebl).Tous sont`acoefficientsre´els. Pour tout entier naturelk, on noteE k apec’lseroeievtcrgeduae´sulpesldlypoomnˆdeesk. A tout entier natureln nonnulet`atoutesuite(s 0 ,s 1 , . . . ,s 2n ) de 2nsΦtionlicaasppeielsscoo,anlseer´+1 n etS n deermale`inanfie´dsei suivante : n n P P i j pourtoute´le´ment(A,B) deE n ×E n avecA=a i XetB=b j X, on pose i=0j=0 n n X XX Φ n (A,B) =a i b j s i+j =a i b j s i+j i=0j=0 0 ≤i,j≤n 2n2n P P i et,pourtoutpolynoˆmeCe´´letdenemE 2n , avecC=c i X, on poseS n (C) =c i s i . i=0i=0 1. (a)V´erifierque,pourtoutentiernatureln, Φ n roemnufe´naeibilym´eiresuesutriqrsteE n ×E n . (b)Ve´rifierque,pourtoutentiernatureln,S n ilemae´nnutsrofeeiresurE 2n mene(tottue´´let,pourA,B) i deE n ×E n Φ:e´tilage´’lrveoupr, n (A,B) =S n (ABre´delreosacu`noisapcrecarmmneonco)(A=Xet j B=Xavec 0≤i,j≤n.) 2. Deuxcas particuliers (a) Danscette sous-question on suppose quen= 1 ets 0 = 1,s 1 ets 2 ´teqmueete´tealnqruteousl.cPoonu´tn 2 (a,b) deR´eitaleg’´rlfiee´irv 2 22 Φ (aX+b, aX+b) = (b+as) +a( ) 1 1 s 2 −s 1 Ende´duireuneconditionn´ecessaireetsuffisante,portantsurlesr´eelss 1 ets 2 , pour que l’application Φ 1 soit un produit scalaire surE 1 ×E 1 .

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(b) Danscette sous-question on suppose quen= 2,s 0 = 1 ets 1 =s 3 = 0,s 2 ets 4 ´etanqteuclnouqse. Prouver que l’application Φ 2 ed(ohxietcla`nueei´ocss,as 0 ,s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 ), est un produit scalaire sur 2 > E 2 ×E 2 iselrse´ueelemtnstsieelss 2 ets 4 :iuavtnsedivt´ieornisfisentlescons 2 >0 ets 4 −s 2 0. 3. Deuxexemples Danscettequestiononconside`reunentiernaturelnnon nul. (a) Dans cette sous-question, on se donne un entier natureldnontee´ealoiatdirer`scelunenutiravelba Y, prenantdvaleurs distinctesα 1 ,α 2 , . . . ,α d tpenitosristemcttcepseviseviser,abobpress,´eitillceva, p 1 ,p 2 , . . . ,p d , et on pose, pour tout entier naturelk d X k k (Y) =α s k =E i p i i=1 Onconside`relesapplicationsΦ n etS n ossae´ica`sehcecxdoie(s 0 ,s 1 , . . . ,s 2n ) d P i.PourtoutpolynˆomeQdeE 2n ’lrefiire´tilage´e:,v´S n (Q) =Q(α i )p i . i=1 ii.Ende´duireuneconditionn´ecessaireetsuffisante,portantsurnetd, pour que l’application Φ n soit un produit scalaire surE n ×E n . (b) i.Danscettesous-question,onconsid`ereunevariableale´atoireYdone´tidenstunefest continue sur le segment [0,1] et nulle en dehors de [0,1]. On pose, pour tout entier naturelk, 1 Z k k s k =E(Y) =t f(t)dt 0 Ve´rifierquel’applicationΦ n ee`aoci´,ass(eiodxechcs 0 ,s 1 , . . . ,s 2n ) est un produit scalaire sur E n ×E n . 1 1 ii.Montrerque,danslecaso`u(s 0 ,s 1 , . . . ,s 2n ) = (1, ,. . . ,), l’application Φ n ci´eassoe,e`ac 2 2n+ 1 choix, est un produit scalaire surE n ×E n . 4.Danscettequestiononrevientaucasge´n´eralo`uonconsid`ereunentiernaturelnnon nul, une suite (s 0 ,s 1 , . . . ,s 2n ) de 2nΦsnoir1e´+tleselseicatappl n etS n .icossace`aes´eteuiestt Onadmetler´esultatsuivant:toutpolynˆomePeup’´tsealsumrofirceoser r ` Y Y m i 2 P=λ(X−ζ) (X+b X+c) i jj i=1j=1 o`uret`sont des entiers naturels (avec la convention que sirou`est nul, le produit correspondant vaut 1),o`uλie´rnutses,u`o,lerest non nul,ζ ,ζ ,. . . ,ζesr´acinesdieellelrsostndeinstesctPse´tpitlicil,mude 1 2r 2 non nul,. . . ,cb ,b ,. . . ,b,c ,c ,tnirafisv´e´eeldesrsontb4c respectivesm 1 ,m 2 , . . . ,m r ,uis,te`o`est 1 2 ` 1 2 ` j − j <0 pour tout entierjtel que 1≤j≤`. Unpolynoˆmenon nulPsedttiopisitsf,ipourtoutr´eelca`,ntiefficoes,el´esrx,P(x)≥0. (a)Montrerquelamultiplicit´ed’uneraciner´eelled’unpolynˆomepositifestpaire. (b)MontrerquetoutpolynoˆmePd-a`-tseeriposi´r2esestitdfdegecaux´errmeomdedeemoˆ’c,spedsnylo 2 2 qu’il existe un couple (A,Buetelqpelod)em,snyoˆP=A+B. (c) Enremarquant que, siA,B,C,Dna:soqunttaeropylˆnmoseo, 2 22 22 2 (A+B)(C+D) = (AC+BD() +AD−BC) montrerquetoutpolynˆomepositifestsommededeuxcarr´esdepolynoˆmes.

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(d) Montrerque Φ n est un produit scalaire surE n ×E n lynˆutpoometneesetsluimseruot,iopPpositif, e´l´ementdeE 2n , on a:S n (P)>0.   1 1 1 1 5. Danscette question on suppose quen= 2 et (s 0 ,s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 1) =, , , ,. 2 3 4 5 2 ` (a)Al’aideduproc´ede´d’orthonormalisationdeSchmidt,construire,`apartirdelabase(1,X,X) une base orthonormale deE 2 pour le produit scalaire Φ 2 . 3 (b) Pourtous (a 0 ,a 1 ,a 2 ) et (b 0 ,b 1 ,b 2 tsdeemene´´l,)Rlrefige´’tila:e´´eri,v 2 2t Φ 2 (a 2 X+a 1 X+a 0 ,b 2 X+b 1 X+b 0 ) =AM B   1 1 1    2 3 a 0 b 0 1 1 1    o`uA=a 1 ,B=b 1 , etM= .  2 3 4  a 2 b 2   1 1 1 3 4 5 t (c)De´terminerunematriceTtriangulaire telle que:T M T=I 3 (I 3 d´esignarcdiieeedtnttinea´l’admrrot 3). 6.Jusqu’`alafinduprobl`eme,onconsid`ereunentiernaturelnnon nul, une suite (s 0 , . . . ,s 2n ) de premier terme s 0 = 1, telle que Φ n soit un produit scalaire surE n ×E n , et on note (P 0 ,P 1 , . . . ,P n ) la base orthonormale n deE n pour le produit scalaire Φ n hcSede´dpa`,tdimar,pueen´eocprlesaba1(eiotrtabledr,X, . . . ,X), le polynˆomeP i tenadtdeegr´e´ipour tout entiericompris entre 0 etn. (a)Enconsid´erantlenombreΦ n (P n ,leuelypoomnˆeverqprou1),P n ne peut pas garder un signe fixe sur Re´udriqeeu.EndP n icittiplpair´eim.eopssmoaude`eranesuinee´reniclumedell (b) Onnoteα 1 ,α 2 , . . . ,α k sdeellesr´eicensearlP n demuerqrentMoe.irapmie´ticilpitluP n ossual’se´rcti k Q formeP n =εQ(X−α i ,)u`oε´tsee´lentmede{−1,1}etQedtiefipolystuneposnˆomE n . i=1 k Q Enconside´rantlenombreΦ n (P n ,ε(X−α i )), montrer quek=n. i=1 7. On noteα 1 ,α 2 , . . . ,α n lesnopudˆnylemoacresinP n tcnitsidteselleeloseuxde`auxdeesoineutsl´nrq,a pr´ec´edente. Q X−α i Pourtoute´l´ementkde{1,2, . . . ,n}, on noteL k moeelopylˆnL k = . 1≤i≤n α k −α i i6=k (a) Montrerque (L 1 ,L 2 , . . . ,L n ) est une base deE n−1 me,ettruop,uonyoˆptloRdeE n−1 ju,ifist’lreage´´til:e n n P P R=R(α i )L i e´udrie.EndL i . i=1i=1 (b) SoitAuolnpˆoyn´,eme´letnemedE 2n−1 . i. Justifierl’existence d’un couple (Q,R)edteneml´´eE n−1 ×E n−1 tel queA=P n Q+R. n P ii.V´erifierqueS n (A) =S n (R), puis queS n (A) =A(α i )S n (L i ). i=1 (c)Pourtout´el´ementkde{1,2, . . . ,n}, on posep k =S n (L k ). n P 2 V´erifierquep k neoce1,t=nt´eransidS n (L), montrer quep k >0. k k=1 (d)D´eduiredecequipre´c`edequ’ilexisteunevariableal´eatoirediscr`eteY´vtna,trefiiuttourpoeneml´´ek k de{0,1, . . . ,2n−1}, s k =E(Y). (e)D´eterminerlaloid’unetellevariableal´eatoire,danslecasou`:   1 1 1 1 n= 2 et (s 0 ,s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 1) =, , , , 2 3 4 5

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