Mathématiques I 2000 Classe Prepa HEC (ECT) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2000
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 307
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option technologique

MATHEMATIQUES I

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel’´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’e´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamen´ea`prendre.

EXERCICE 1´tni’dxuatedsnoiuest(Qt)ˆeer Danstoutcetexercice,ond´esigneparSetxsleesletrbmo´rsedeuxnequS >0 etx>0. 1. LasommeSreeˆni´ttivesecutuxd’auta´nnaxued´snocseeeseec´latpx. (Le tauxxterbuqle0edsi´eeugnomnn< x <1. Ainsi, si le taux est de 4%, on ax= 0.04). De quelle sommeS 1 t?emenplacesdenne´ueaxeddssseu’ialn`-o-tsepoisd 2. LasommeS2xe´aetuuaeri`nnealaeeemprptse´calxn´eeautauexcondeaneltsay. De quelle sommeS 2 dispose-t-on`al’issuedesdeuxanne´esdeplacement? 3.Montrerquel’e´galite´decesplacements,c’est`adirel’e´galite´S 1 =S 2 ´,qeiuavtua`une´egalit´edelamrofe y=f(xo)u`fest une fonction deR + dansR + que l’on explicitera. 0 4. Calculerf(xtiiadeone´dnete)eselirduarevsdenfsurR + gnatetneqisnaleuaieestntaviberepr´e`alacour x defetimilaletuinsrenemieretD´ne.0Ldef(x)−quandxtend vers +∞ernertiuoCsnusnfimnuremeˆ 2 x graphiquelescourbesrepr´esentativesdesdeuxfonctions:y= +Lety=f(x). 2 EXERCICE 2se)il´tbibaro(P DeuxjoueursAetBs’affrontentdansunjeudelamanie`resuivante: Ajouelepremieretjettedeuxde´s:Silasommedespointsobtenusest5,Agagne.Lejeucessealors. Sinon,Bjouea`sontouretjettedeuxd´es:Silasommedespointsobtenusest7,Bgagne.Lejeucessealors. Sinon,letourrevient`aAetonpoursuitcommeci-dessusjusqu’a`cequeAouBaitgagne´. 1.Probabilit´epourquelasommedespointsdonne´spardeuxd´esfasse5ou7

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(a) Indiquersous forme de couples (i, j´rselusestatjsed)lelsquseetxu´dseedtedsi+j= 5. (b)Ende´duirelaprobabilit´epourquelasommedespointslorsdujetdesdeuxd´esfasse5. (c) Indiquersous forme de couples (i,jxd´esdeusquestel´esrle)dstatlusedstejsei+j= 7. (d)Ende´duirelaprobabilit´epourquelasommedespointslorsdujetdesdeuxd´esfasse7. 2.Probabilit´epourqueAouBgagnelorsdespremiersjetsdesd´es (a)D´eterminerlaprobabilite´pourqueAgagneaupremierjetdesdeuxd´es. (b)D´eterminerlaprobabilite´pourqueBgagneaudeuxi`emejetdesdeuxd´es(cequisupposequeAait perduaupremierjetdesdeuxde´s). ie`me De´terminerlaprobabilit´epourqueAgagneau(2n+ls()jedteuedse´dxn>0). ie`me D´eterminerlaprobabilite´pourqueBgagneau(2nesd´uxde()2+sedtejn>0). 3.Calculdesommesdese´ries (a)Calculerlessommesdesdeuxs´eriessuivantes:   +∞  n +∞  n X X 1 204 20 , . 9 2727 27 n=0n=0 (b)End´eduirelesprobabilite´saetbpour que A et B gagnent le jeu. 4.Nombremoyendejetsdesdeuxd´esn´ecessairea`l’ache`vementdujeu. Ond´esigneparTeve`hca’suejleelquduuess’iale´`suedxerdadasieljsvtarle´deeanbolmebanetilnedtiqouiar par la victoire de A ou B. (a)De´terminerlesprobabilit´esp(T= 2net+ 1)p(T= 2npour+ 2)n>0. Ve´rifierquelasommedelase´riedetermege´ne´ralp(T=k) aveck>e1tse´agela`.1 Calculerlessommesdesdeuxse´riessuivantes:    +∞ n +∞ n X X 1 204 20 (2n+ 1),(2n+ 2) 9 2727 27 n=0n=0 1 n−1 (On rappelle que pour06x <1alosri´eetededmmaselare´lemrene´gnxest . 2 (1−x) (b)End´eduirel’esp´eranceE(Tavaled)alleabrireoiat´eT.

EXERCICE 3(Analyse) Onconsid`erensmonserbee´rtsslctrienemostpifitx 1 , x 2 , ..., x n (avecn>1) et on se propose de prouver que leur moyenneg´eome´triqueestinfe´rieurea`leurmoyennearithme´tique,soit: √ x 1 +x 2 +...+x n n (I n ) :x 1 x 2 ...x n 6 n 1.Unein´egalit´e´equivalente Etablirquel’in´egalit´epr´ec´edente(I n qe´taviuse)vantasuie`allent:e ln(x 1 ) + ln(x 2 ) +...+ ln(x n )x 1 +x 2 +...+x n (L n ) :6ln( ). n n 2.De´monstrationdel’ine´galite´initiale (a)Ecrirel’´equationdelatangentea`lacourbed’´equationy= lnxau point d’abscissec(c >0)). (b)Etudierlesvariationsdelafonctionsuivante,puisende´duiresonsigne: x−c Φ(x) = lnx−lnc− c

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