Mathématiques I 2001 Classe Prepa HEC (STG) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2001
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 113
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION TECHNOLOGIQUE MATHEMATIQUES I

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerdanslamesuredupossiblelesre´sultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautorise´e.

L’´epreuveestcompose´ededeuxexercicesind´ependants.

EXERCICE I

Une´electioncomportetroiscandidatsetntavous,on`tnChaq`a3.tantuevoueire´pulage´uortuesrsientne donnesavoixa`l’unoul’autredecestroiscandidats.Toutcandidatquiaobtenuaumoinsunevoixeste´lu.On supposequechaquevoteseporteauhasard,defa¸con´equiprobable,surundecescandidatsetquelesvotessont mutuellementind´ependants.Levotesefaisantparcorrespondance,led´epouillementsefaitaufuret`amesure delar´eceptiondesbulletinsdevoteet,pourtoutentiernaturelkapuul´sgelaa`n, on noteu k libae´tilaprob qu’apre`sr´eceptiondukublle`emu,snteniandieulcitobdatavsedunet,xio-iv k uptcendio`epr´esralilabobpr’aqu´eit ktenucahcxoievunnsoiumuaenllubnitei-eme`ianeottbnaidadstentdeuxc,exactemw k orpalseapr`equ’lit´babi re´ceptionduk-rostcaisidndsaatme`ilubeitelel,nsunevoixchacun.eitnboetunuaomni 1. (a)Pre´ciserlesnombresu 1 ,v 1 etw 1 . 1 2 (b)Justifierlese´galit´es:u 2 =, v 2 =, w 2 = 0. 3 3 (c)Enutilisantlaformuledesprobabilit´estotales,montrerqu’ilexisteunematriceMurpouttoe´irafitnv entier naturelklunnrsteonemtncietreeini´fur`an:    u k+1 u k    v k+1 =M v k w k+1 w k

1

(d)End´eduirel’e´galit´ematricielle:    u n u 1 n−1    v n =M v 1 w n w 1   1 0 0   2. SoitAlatamcerinndopee´:raA2 0= 2 0 1 3 2 (a) Calculerla matriceA. (b) Montrerque, pour tout entier naturel non nulk,isteilexmorbednseeslse´ra k ,b k ,c k re´vnafii´eit’´tlaleg     k+1 1 0 0  a k+1 =a k + 2 k k    A= a k 2 0 et les relations b k+1 =b k + 2c k  k k b k c k 3c k+1 = 2c k + 3 c k+1 c k (c) Pourtout entier naturel non nulk:, on posed k =a k+1 −a k etq k =−. k+1k 2 2 Montrer que les suites (d) × et (q) × ´rptsiceelrersru´esg´eomiqtrseuesnodtuesxiuetsn.iaos k k ∈N . k k∈N. P k−1 (d)Calculerdedeuxfa¸consdiffe´rentes,pourtoutentiernaturelknon nul, les sommesd j et j=1 P k−1 q j . j=1   k+1 a k = 2−2 Ende´duireles´egalit´es: k k c k = 3−2 (e) Exprimer,pour tout entier naturel non nulk,b k+1 −b k en fonction dek. k k+1 End´eduire,parunem´ethodeanalogue`acelledelaquestiond),l’e´galit´e:b k = 3−2 +1. 3. n−1n−1 (a) Exprimerla matriceMcirteededamall’ai`aAse:e´agil´tirdueseltee´end  1 u n = n−1 3   n 2−2 v n = n−1 3 n 2−1   w n = 1− n−1 3 (b)De´terminerleslimiteslimu n , limv n et limw n ste´luat´rseC.se?selbisvi´eprls-intieta n→+∞n→+∞n→+∞ ` (c) Apartir de quel nombrenevotantsest-once´tlessnosud?nsoiuxdendcaatidiatr9a`nuq%9mua’ EXERCICE II

Cetexercicee´tudielafe´condit´edesfemmesd’unpaystotalementimaginaire,laSyldavie. 1.elgdonultaoustve.eivrue´econditFemsslyade´edfsme On estime que le nombre d’enfants mis au monde par une femme syldave, au cours de sa vie, est une variable al´eatoireNPediolenednossioetm`rapa2.resuivantu (a)Donnerl’espe´rancedecettevariableal´eatoire. (b)Calculerlaprobabilit´epe`´eaarpporhcnuvelaueendonnerem`ereetrteˆ’d,evadlysememefunurpo, −2 0,pr01s.`e(0On donnee'0,135) (c)Calculerlaprobabilit´epourunefemmesyldaved’avoiraumoinsquatreenfants,sachantqu’elleena au moins un. 2.de´eemsfssmedaylFoce´tidn’ˆedchantrarspve.ega

2

Onsuppose,danscettequestion,qu’aucunefemmesyldaven’estm`ereavantl’aˆgede12ansetqu’ilexiste +− une fonctionfcontinue positive surR, nulle surRv´,ifiert:an + – pourtout intervalleJnon vide deRde la forme [a, b[, le nombre d’enfants mis au monde par une femmesyldaved’aˆgeappartenant`al’intervalle[12+a,12 +btunevari[,eseriotae´laelbaN J suivant la b R loidePoissondeparame`treα J :eparonn´dα J =f(t)dt. a + – pourtout intervalleJnon vide deRde la forme[a,+∞[, le nombre d’enfants mis au monde par une femmesyldaved’ˆageappartenant`al’intervalle[12+a,+∞[e,eriotaeeal´iablevarstunN J suivant la +∞ R loidePoissondeparam`etreα J odnn´epar:α J =f(t)dt. a 0 On suppose de plus que, siJetJtes,sosintntdelleservaiotnidjsnalt,syal’oune’uesedtraurpsemrofnede´ce´ lesvariablesale´atoiresN J etN J soinntepd´daensetn. 0 +∞ R (a)Quelledoiteˆtrelavaleurdel’int´egralef(t)dtelccsleetneevasoctnre´hsoieesesoth`shypeuecuoqrp 0 de la question 1.? (b)Justifierque,pourtoutr´eelx´tilibabenuruopeitosproap,liftertapmsnoedaemuesylfemmdenedave   x R d’enfantavantl’aˆgexe21+odtse´nnepar:P([N [0,x[ = 0]) = exp−f(t)dt. 0 (c)Montrerque,pourtoutr´eelxt´liouepnerummfetisol,fiorpaibabmisavoirupadevselyapaseden monded’enfantavantd’atteindrel’ˆagex12+paeer:sedtno´nts`mre,equ’ellee,sachant    x+∞ Z Z 1    P([N [0,x[ = 0]/[N >0]) =exp−f(t)dt1−exp−f(t)dt p 0 x Rappel: le nombrepnnafide´iqdael´sttes´eaunoi1.b). ´ 3.Etude d’une fonction auxiliaire. −+ Onsuppose,dore´navant,quefest la fonction nulle surRedteiope´nfiutr´urtoeeltdeRpar : 1728t f(t) = 2 2 (t+ 432) 432 864 1728 2 Remarque= == 144 =: 12. 3 6 12 + ´ (a) Etudierla fonctionfsurRaximtunmadmeellecesirpen.´arleo’muuq’uqrertnomte (b)Donnerl’alluredesacourberepre´sentativeenpr´ecisantsademi-tangente`al’origineetl’abscissedeson point d’inflexion. x+∞+∞ R RR (c)Calculer,pourtoutr´eelxisittnopetemrtcisesalgr´entsilef,f(t)dt,f(t)dtetf(t)dt. 0 0 x (d)Ende´duirel’expression,enfonctiondepet dexbaborpalboe´tilianednutestueaqslc..)oeid2,n ˆ 4.nalassiaecnaosedrenpermifaen.nteg’dA`ereunemave`syld Onsuppose,danscettequestion,quel’ˆageauquelunem`eresyldavemetaumondesonpremierenfantest unevariableal´eatoireTprenant ses valeurs dans l’intervalle [12,+∞r´erefiienla,top[rutoet´tvuxpositif:    2 1 2x864 P([T >12 +xexp]) =−1−exp− 2 2 p x+ 432x+ 432 0 0− (a) OnposeT=T−eirtoae´laelbairavaleerquontr12.MTnsdeurpoait´elafonctiongnulle surRet   2 1 1728t2t + de´finiepourtouttdeRpar :g(texp) =−. 2 22 p(t+ 432)t+ 432 3