Mathématiques I 2002 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2002
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 361
• Langue: Français

Extrait

´ ESSEC 2002, Option scientifique, MATHEMATIQUES I Danslasuite,ond´esigneparnunreennombus´pitreruuoreeia2l`ga´erpaetR n [X] l’espace vectorieldespolynˆomesdedegr´einf´erieuroue´gala`n. Onrappellequ’unpolynˆomenonnulestditunitairelorsquesoncoefficientdominant(c’est`adire lecoefficientdesontermedeplushautdegr´e)est´egal`a1. L’objetduprobl`emeestl’e´tudedesextremad’unefonctiondeplusieursvariables(partieII). Aceteffet,on´etudieauparavant,danslapartieI,unefamilledepolynoˆmesdeR n [X] et leurs racines. Lesdeuxpartiesnesontpasind´ependantes,maisonpourraadmettredesre´sultatsdelapartieI pour pouvoir traiter la partie II. Partie I 1)D´efinitiond’unendomorphismeφdeR n [X] 0 a)emoˆnyloatErilbitnoilaca’ppuqleoutpt`atcianassoPdeR n [X]eomnˆlypoleφ(P) = 2xP− 0 00 P`ou(”PetPerpse`imire´ee´vedndeetrecosenentlesdd´esigP) est un endomorphisme de R n [X]. 2n b)Ecrire sa matrice dans la base canonique (1, . . . , x, x, x) deR n [X]. 2)Ele´mentspropresdel’endomorphismeφ a)´Dtereesprropsruelavselrenimλ 0 , λ 1 , . . . , λ n deφ(on supposera queλ 0 ≤λ 1 ≤. . .≤λ n et montrer queφest diagonalisable. b)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0≤p≤n,qu’ileynolmeˆoutsnueplixtsueen unitaireH p deR n [Xe´v]afiirnt: 00 0 H−2xH+ 2pH p = 0 p p c)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0≤p≤n, queH p sente´ecssiarementdedegr´e p. d)xEcilpretipselynolmeˆosH 0 , H 1 , H 2 , H 3 dans la base canonique deR n [X] et calculer les p−1p−2 coefficients dex(1≤p≤n) et dex(2≤p≤nerpxoissnad)e’lsˆomendupolynH p . 3)De´finitiond’unproduitscalairesurR n [X] a)qrertnoMuoesedssce-irctile´eegraint´uel’outce(pl´dtsinfieuopeuotrP, Q) deR n [X] : Z +∞ 2 hP, Qi=P(x)Q(x) exp(−x) dx −∞ b)Montrer alors que l’application (P, Q)∈R n [X]×R n [X]→ hP, Qi ∈Rdnuiittudn´perfio scalaire surR n [X]. 02 2 c)deeev´ri´eadrlmepxirEx7→P(x).exp(−x) en fonction deφ(P)(x).exp(−x), puis prouver qu’on a pour tout couple (P, Q) deR n [X] : hφ(P), Qi=hP, φ(Q)i d)qeriude´EndeuhH p , H q i= 0 lorsquepetqsont deux nombres entiers distincts compris entre 0 etn, puis que (H 0 , H 1 , . . . , H n ) forme une base orthogonale pour ce produit scalaire. Montrer enfin quehH p , Qiˆnylemotourpoutpo=0Qappanetrant`aR p−1 [X] (1≤p≤n). 4)EtudedesracinesdespolynoˆmesH p (1≤p≤n) a)Montrer, en remarquant quehH p , H 0 i0,qu=pelenyloemoˆH p s’annule au moins une fois surRen changeant de signe. b)On notea 1 , a 2 , . . . , a m les racines distinctes deH p en lesquelles celui-ci s’annule et change de signe (avec bien entendum≤p) et on pose alorsP m (x) = (x−a 1 )(x−a 2 ). . .(x−a m ). EtudierlesignedupolynoˆmeH p P m laee´rgi’tndrleavrleualeretnemi´dtehH p , P m isim < p, puisende´duirequem=p. c)puoeleeqniˆrldyue´eonmdEH p admetpracines simples dansR.

5)RelationsentrelespolynˆomesH p (2≤p≤n) a)Porvureel´sgealit´essuivantesopruottuopylˆnmoeQappartenant`aR p−3 [X`o]3u≤p≤n: hxH p−1 , Qi= 0;hH p −xH p−1 , Qi= 0 EnexprimantlepolynoˆmeH p −xH p−1 dans la base (H 0 , H 1 , . . . , H n larelati´etablirn)o,: 2Hp−2xH p−1 + (p−1)H p−2 = 0(pour 2≤p≤n) 0 egalit´e0pourtoutpolynoˆ b)Prouver l’´hH p , Qi= meQ`antnatearppaR p−2 [X2u`o]≤p≤n, puisend´eduirelarelation: 0 H=pH p p−1 (pour 1≤p≤n) Partie II n Onconsid`eredanscettepartiel’espacevectorielRnotscdeseti´un-upletsx= (x 1 , x 2 , . . . , x n ). n On noteUl’ouvert deRssnoctitu´eden-upletsx= (x 1 , x 2 , . . . , x n ) tels quex 1 < x 2 < x. .< . n n (maisonnedemandepasdev´erifierquecettepartieUdeRest ouverte). On´etudieicilesextremadelafonctiondeplusieursvariablesFde´nfieiusrl’ouvertUpar : n X X 2 F(x) =x−2 ln(x j −x i ) i i=1 1 ≤i<j≤n Par exemple, pourn= 3, on obtient : 2 2 2 F(x) =x+x+x−2 ln(x 2 −x 1 )−2 ln(x 3 −x 2 )−2 ln(x 3 −x 1 ). 1 2 3 2 2 +x−2 ln 1) Etudedu cas particuliern= 2(F(x) =x 2 (x 2 −x 1 )) 1 a)v´ri´exdtiarspeeluclaCuedselredseleelFen tout pointx= (x 1 , x 2 ) deUe´dtmretrenie l’unique pointadeU`uos.tiellessontnulleecdse´ir´veepsra b)CalculerF(a) et montrer queF´rpnecolamumlminiteunesena. 2) Etudedu point critique deF´gsae´nenadcelsral Onassocie`atoutpointadeUlpelonyoˆemP(x) = (x−a 1 )(x−a 2 ). . .(x−a n ). On rappelle qu’un pointadeUest dit point critique deFsedselleitrespaiv´ed´erilesFsont nulles en a. a)r´releebltaEirlarelationsuivnaetopruottuonbmxdistinct dea 1 , a2, . . . , a n : n X 0 P(x) 1 = P(x)x−a j j=1 0 P(x) 1 Ende´duirelalimitequandxtend versa i de−. P(x)x−a i b))´encno´el’icirelepparedednntondemaYoung(doTeyaol-rofmrludedeailadeerinl’`ae´Dmret led´eveloppementlimit´e`al’ordre2`al’originedesdeuxfonctionssuivantes: 0 f(t) =tP(a i +t)−P(a i +t) ;g(t) =tP(a i +t) 0 P(x) 1 End´eduirelalimitequandxtend versa i de−(on poserax=a i +t). P(x)x−a i c)itilU´t:etatsesulesr´serlruopstnede´ce´rpliga´el’irblta´e n X 00 1P(a i ) = 0 a i −a j 2P(a i ) j=1 j6=i Exprimer lesne´sddertpallieiveres´eFen fonction dex 1 , x 2 , . . . , x n onemd´isesquertri,up 0 00 aest point critique deF, alors 2xP−Padmet pour racinesa 1 , a 2 , . . . , a n . 0 00 d)el´ererbmonnuetsixelnEde´deriui’uqλ´epronntdo(e2elqurut)avelaralicesxP−P=λP, puiscomparerlespolynoˆmesPetH n . Etablir queFadmet un unique point critiqueadans U. 3) Naturedu point critique deFrelae´´ndacasgnsle a)Montrer, six,ytnenaa`arppentiU, quetx+ (1−t)yss`iaappartientauUsi 0≤t≤1. 2