Mathématiques I 2002 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

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Publié le 18 mars 2007
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Langue Français
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ESCP-EAP 2002, math 1, option scientifique. Danstoutleproble`me,nnentgneuup´eiersor´uiruea`.2geladise´ Onconsid`ereunefonctionre´ellefde classeCsur [1,1], et on noteI(f:ela)ltnirge´ Z 1 f(x) dx. 1 Pour tout entier naturelknon nul , on pose : (k) (k) Mk(f) =supf(x)uo`,fee´vroderd´edgnsiadelri´ekdef. x[1,1] Lespolynˆomesconsid´ere´ssont`acoecientsr´eels,etonconfondpolynˆomeetfonctionpolynomiale associ´ee. Pour tout entier naturelm, on noteRm[X] leRreuri´efnie´rgededsemoˆdespolynectoriele-pscave oue´gal`am. On rappelle que sir1, r2, . . . , rpˆoynolnpmerascointdes´eelnesrsiiteldsdsucnetP, avec des p Y ki multiplicite´srespectivesk1, k2, . . . , kpisexuntelypoomnˆea,olsrliQtel queP=Q(Xri) . i=1 Enfin,a1, a2, . . . , anesigd´tnenn`xuedslee´rdetsnctiisxdeuad[1,1], et on noteAnˆome:lepolyn n Y An= (Xai) i=1 Lobjetdeceprobl`emeestlapproximationdeI(flonynopsel.smoaiales´egrnctidefop)tnisedra Pr´eliminaire ´ 1)nonElrec´hte`roeemedeRolle. n 2)Soitgune fonction de classeCsur [1,1], s’annulant enn+ 1points distincts de [1,1]. a)ntreMoeviredee´euqr´dalgs’annule en au moinsnpoints distincts de ]1,1[. (n) b)ilexistMeontrerqunu´reelcde ]1,1[ tel queg(c) = 0. Partie I Danscettepartie,onvaproposercommevaleurapproche´edeI(f)alraelboetunege´tniledruelav enrempla¸cantlafonctionffne´´rieor´uirue`aegalpalracnofnoitlypominoedalegedn1, introduite ci-dessous, qui co¨ıncide avecfsur chacun des pointsai. Y Pour tout entieride{1,2, . . . , n}, on noteLielopyle:omnˆLi= (Xak). k∈{1,...,n} k6=i Par exemple, sin= 3,a1=1,a2= 0, eta3= 1, alors :L1=X(X1),L2= (X1)(X+ 1), L3=X(X+ 1). 1)a)eitnesuosr´erierque,pourtVietjde{1,2, . . . , n}eelr´le,Li(aj) est nul lorsqueiest di´erentdej, et est non nul lorsquei´tgese`aalj. b)Montrer qu’il existe ununiqueome,quelpolynˆonntoePfurie´eouin´eerf´,ededrg`laga n1, tel que, pour tout entierjde{1,2, . . . , n}ilage´l,onae´tPf(aj) =f(aj), et que ce polynoˆmeestdonn´eparlaformule: n X f(ai) P=Li Li(ai) i=1 Z 1 1 2)Pour tout entieride{1,2, . . . , n}, on pose :δi=Li(x) dx. L(a) i i1 Zn 1 X Montrer que :Pf(x) dx=δif(ai). 1 i=1 Zn 1 X Dans toute la suite, on note :Jn(f) =Pf(x) dx=δif(ai). 1 i=1
3)Que peut-on dire deI(f) etJn(f) lorsquefri´ereulaimdede´rgefnienefonctionpolynoseut oue´gal`an1 ? 4)Soitxeln´u[ede´xtneme´1,echanctdisti1],deeslse´rucdnai. a)erlstxiusJetiee´rlecnenudλ´egaliteriantl´ve´:f(x)Pf(x)λAn(x) = 0. On note maintenantgλnouqacituort`ita´eellippaltde [1,1] associe : gλ(t) =f(t)Pf(t)λAn(t) b)Calculergλ(ai) pour chaque entieride{1,2, . . . , n}. (n) c)e´rnleMnotrerquilexisteucde ]1,1[ tel queg(ce´atupsile´lbrit´e:gali0,)= λ (n) f(c) λ= n! Mn(f) 5)dnEqeriude´rtou,pueel´etrouxde [1,1],|f(x)Pf(x)|6|An(x)|. n! puis´etablirline´galite´: Z 1 Mn(f) |I(f)Jn(f)|6|An(x)|dx n! 1 ´ 6)Etude d’un cas particulier Dans cette question, on suppose quea1=1,an= 1 et quea1, a2, . . . , ansontr´epartis 2(i1) re´gulie`rement,cest-`a-direque,pourtoutentieride{1,2, . . . , n}, on a :ai=1 +. n1 a)Soitkun entier tel que 16k6n1 et soitx´reedl[enuak, ak+1:e´tilage´nilretius.J] n 2 |An(x)|6k!(nk)! n1   n 2 b),deeoipuneEr´udqtu´rruoteelxde [1,1], on a :|An(x)|6(n1)!. n1 c) On admetque, quand l’entier naturelpte:tendverilsinnano,e´livquenalsuceaniv pp p p!2πp. e Montrer que, si l’entiernr´eelgrezsstaestuotruop,ano,dnaxde [1,1], la majoration :   n 2 |An(x)|6 e Partie II Danscettepartie,onvaproposercommevaleurapproch´eedeI(f)int´delleobegrauneteelrualav enremplac¸antlafonctionfa`lage´uourieerf´in´egrdearpionpolynomialedenucereatnifenotc 2n1uq,dnetaoixomiappreunealisir´efplus fine que la fonction polynomiale de la partie pre´c´edente. 0 PourtoutpolynˆomeQ, on noteQlpeedd´eriv´eolynˆomeQ. 2n 1)snoce`dinOaticniolreplapTdeR2n1[X] dansRpar:nied´e   0 00 QR2n1[X], T(Q) =Q(a1), Q(a2), . . . , Q(an), Q(a1), Q(a2), . . . , Q(an) 2n a)Montrer queTdeaireesnetulppatacilnoie´niR2n1[X] dansR. b)Montrer queTest injective (lepparnolreneu´uqelaest racine au moins double d’un 0 polynoˆmeQsi et seulement siQ(a) =Q(aequeriude´dnE.)0=)Test bijective. c)dentec´enpr´stioqaeueslritilUolynˆome,not´eixeluetsinunpeuqoueponrmertriquQf, de degr´einfe´rieuroue´gal`a2n1, tel que, pour tout entierjde{1,2, . . . , n}: 0 0 ) etQ(a) Qf(aj) =f(aj fj) =f(aj (on ne demande pas d’expliciterQf) 2