Mathématiques I 2003 Classe Prepa HEC (S) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2003
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 390
• Langue: Français

Extrait

HEC 2003. Math1 option scientique. NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D’UN NUAGE Danstoutleproblemenetpagxuauesruoedetdengnsiertieneslerutansirepuss2et on pose E p =M p,1 (R). L’espaceE p est muni de sa structure euclidienne canonique; la norme euclidienne d’un vecteur xdeE p eetnoste||x||; le produit scalaire de deux vecteursxetydeE p onteesthx, yi. SiunetrappaatnateecnvtuulnnnourseE p ,D u rardnepeetcroeteveegneillesigddroinelau et sixest un vecteur deE p ,P D u (x)ogonaldeeteorthtselrpjoexsur la droiteD u . ⊥ SiFest un sous-espace vectoriel deE p thaoigoreemoerntepplnlaelsdu,FdansE p senttoeF. Pour toute matriceAnetrappaatnaM m,` (R)on note A derel’aplpcitaoilnnieiaM `,1 (R)dans M m,1 (R)diner:ape∀X∈ M `,1 (R), A (X) =AX. ∗ Pour toutrapatnanetrapNet toute famille(u i ) 16i6r de vecteurs deE p ,Vect(u 1 , . . . , u r )est le sous-espace vectoriel deE p sruetcedreenngveesrlpau 1 , . . . , u r . Signeidnesnuousurstunectioefonless-cepactveieorFdeE p teavaruelsdansRe,ondesign parmaxg(x)oumax{g(x);x∈Fet||x||= 1}le maximum, lorsqu’il existe, de la fonctiong x∈F ||x||=1 sur l’ensemble des vecteursxdeFgaleamreetseodtnalon1.  Partie I: Etude d’un exemple Dans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose quep= 2. On note(u 1 , u 2 )la base canonique deE 2 . 1)rcuoOsnetcevseleredisnv 1 , v 2 etv 3 rtenantapaapE 2 etdonseltroocnnodseensdabalase (u 1 , u 2 ) sont respectivement (1,2),(−3,−1),(2,−1). 0 Onconsidereunreelmet on note, pour toutiataptrapnane{1,2,3},vlarohtgonoprojetele i dev i apeerdnegneelleritoecevitroadrlusru 1 +mu 2 . 020202 a)Calculer en fonction demauqlatitn:e||v||+||v||+||v||. 1 2 3 b)nerlavaleurDtereimm 0 demitntuaeqinteateuqalruopttecelleamixstnoecum;m maximumestnoteλ 1 . µ ¶ 1 –32 2)SoitX.la matrice 2 –1 –1 a)Vequerierλ 1 est une valeur propre de  X X ;u 1 +m 0 u 2 etansoasecirurppoerutvnceet t aλ 1 . b)ueprveDladeeorrp’lrertuaetenimr X X atlacererompaλ 1 . t Partie II: Les axes principaux d’inertie d’un nuage Lesnotationsintroduitesdanscettepartieserontutiliseesdanstoutelasuiteduprobleme. OndenitlamatriceX= (x ij )tearntnaappaM p,n (R)ppaeleseescolonnenuage;s 16i6p 16j6n c 1 , . . . , c n snoate;agnuseeleppudstniopXest donc un nuage denpoints dans un espace de dimensionp. t OndenitlamatriceV=X X. On appelleFle sous-espace vectoriel deE p seevtcuesrocolnnengendreparlesc 1 , . . . , c n et on suppose quedimF=retp > r>1. n X 2 Pour tout vecteurvnon nul deE p , on poseI(v) =||P D v (c j )||pcp;elleittsea’teetuqna j=1 l’inertie du nuageXsur la droiteD v . n X 2 j i. Pour tout couple de vecteurs(v, w)taenanpartapE p , on pose:J(v, w) =hv, c j ihw, c j=1 1)a)Montrer que la matriceVdentsoesspelesrsfitisoeidtsagonalisableetquseseavelrupsorrp ou nuls.

On noteλ 1 , . . . , λ p les valeurs propres deVet on suppose queλ 1 >. . .>λ p Justier l’existence d’une base orthonormale (e 1 , . . . , e p ) deE p telle que: ∀i∈[1, p]]e, V i =λ i e i b)•Montrer que le noyau de  V estegalaceluied X . t •raleueeqdengEriudednVlaeagster. •Montrer que:λ r+1 =. . .=λ p = 0. •Que peut-on dire deλ 1 , . . . , λ r ? •Montrer que (e 1 , . . . , e r ) est une base deF. t 2)a)Montrer, pour tout vecteurvedtaenanparte1apnormE p ilt:eeag,’lI(v) =vV v. b)tuDmineeterurtor,poirappaatnanet[1, p]],I(e i a’dideseonbmersal)λ 1 , . . . , λ p c)Ondeltinossee-sucapsveesorctlsieF 1 , . . . , F r deE p par : ⊥ ⊥ F, F=F∩. . , F=F∩(D) F 1 = 2 1 (D e ), . r r−1 e r−1 1 •Montrer que :∀i∈[1, r]], F i = Vect(e i , . . . , e r ). •Montrer que :I(e 1 ) = max{I(v);v∈E p et||v||= 1}= max{I(v);v∈F 1 et||v||= 1}. •Montrer que :∀i∈[1, r]], I(e i ) = max{I(v);v∈F i et||v||= 1}. 3)Soitwun vecteur unitaire deE p tel queI(w) = max{I(v);v∈E p et||v||= 1}. Montrer quewpaaientpartF. 4)On suppose dans cette question queε 1 , . . . , ε r sontrcevruetantna1appartesdenormeE p et queG 1 , . . . , G r sontrsous-espaces vectoriels deE p tels que  G 1 =F ε 1 ∈G 1 etI(ε 1 ) = max{I(v);v∈G 1 et||v||= 1} ⊥   ∩(Dmax{I(v);v∈Get||v||= 1} ε 2 ∈G 2 =G 1 ε 1 ),etI(ε 2 ) = 2 (S) . ⊥ ε r−1 ∈G r−1 =G r−2 ∩(D),etI(ε r−1 ) = max{I(v);v∈G r−1 et||v||= 1} ε r−2   ⊥ ε r ∈G r =G r−1 ∩(D),etI(ε r ) = max{I(v);v∈G r et||v||= 1} ε r−1 Les droites vectoriellesD ε 1 , . . . , D ε r esprincieleesaxsnoatpp.geuanudeitreni’dxuap a)rqerieVeu(ε 1 , . . . , ε r ) est une base orthonormale deFet que (ε 1 , . . . , ε r , e r+1 , . . . , e p ) est une base orthonormale deE p . b)Montrer que pour tout couple de vecteurs (v, w)aptaenanpartE p : t J(v, w) =vV w=hv, V (w)i c)On se donne deux vecteursv 1 etv 2 natapaaptrneriatinu,etuxnagohort,oesF. Pourtoutreelt, on poseϕ(t) =I(cost v 1 + sint v 2 ). •Exprimerϕ(t)eidedal’aI(v 1 ), I(v 2 ), J(v 1 , v 2 ) ett. •Montrer queϕsurtseeerojamRet qu’elle admet un maximum. •On suppose que le maximum deϕest atteint en 0. Montrer queJ(v 1 , v 2 ) = 0. 2 d)•Montrer que pour tout (i, jtaenanpart)ap[1, r]] ,J(ε i , ε j e)d=0quesi6=j. •Dricedeedelamatrealofmreetmrni V dans la base (ε 1 , . . . , ε r , e r+1 , . . . , e p ). •ottuoprundeEequeduiri∈[1, r]],ε i est un vecteur propre deVeassaicoλ i . 5)Dans le langage des statisticiens les colonnesc j deXeunrepresenteedtndnisdivi’dsu populationstatistiqueoupvariables statistiquesx i , (16i6p) ont respectivement pris les valeursx i1 , x i2 , . . . , x in (16i6puqetuelelletroseexdeesal,vrseu)tssonennermoy n X nulles,c’estadire:x ij = 0,16i6p. j=1 Calculer la covariance Cov(x k , x ` ) des variablesx k etx ` lorsqueket`rtiennentapaap[1, p]] ¡ ¢ puis comparer la matriceVet la matriceCov(x k , x ` ) 16k6p 16`6p 2