Mathématiques I 2003 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts

Description

Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
• Nombre de lectures: 121
• Langue: Français

Extrait

A 2003 Math PC 1

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePC (Dur´eedel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC. Cet´enonc´ecomporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur d’e´nonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamene´`aprendre.

L’objetdeceprobl`emeestd’introduiresuivantunem´ethodeoriginalelafonc- tionΓetdede´terminer,a`l’aidedecettefonction,uneexpressiondel’int´egrale Isuivante :  π/2 I(ln (tan= lnx))dx. π/4

Premi`erepartie

Ilestadmisque,silafonctionre´ellef,alrvleunurtein´dfieinseIde la droitere´elleR,pouvexetcon,esorsiticeetustruoeer´isroetedntsaslx 1 ,x 2 ,x 3 , (x 1 < x 2 < x 3 a)ppraetantn`al’intervalleI, les valeurs prises par cette fonction encespointsve´rifientlarelationsuivante:

f(x 2 )−f(x 1 )f(x 3 )−f(x 1 )f(x 3 )−f(x 2 ) ≤ ≤. x 2 −x 1 x 3 −x 1 x 3 −x 2

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SoitFctioefononnuninc0]nu-dmiitrouveoteer´d,einfieruseedal,∞[, prenant des valeurs strictement positives (F(x)>0,)uqvie´irefielrospi´pr´eets suivantes : i.eltr´euopuotrxstrictement positif : F(x+ 1) =x F(x). ii.La fonctionx→−lnF(x) est une fonction convexe. iii.La fonctionFprend la valeur 1 en 1 : F(1) = 1. Encadrement deF(n+x)et deF(x): Danslesquatrepremie`resquestions,xnerlt´uepeasapenrtt`ani’laretnllave semi-ouvert ]0,1] etneuri´eupalegu´ro(2a`nuneitreanutersln≥2). 1.De´montrerlesin´egalit´essuivantes:

lnF(n+x)−lnF(n) lnF(n)−lnF(n−1)≤ ≤lnF(n+ 1)−lnF(n). x

2. CalculerF(nrdacnenueriude´d).EnetdenemF(n+xal)`edxudesea’di x x expressions (n−1).(n−1)! etn .(n−1)! .

´ 3. Etablirla relation qui lie, pour tout entierpre´pusieurou´egal`a1(p≥1), F(p+x)a`F(x).

4.End´eduirelesine´galite´ssuivantes: x n nn! F(x)≤ ≤F(x). x+n x(x+ 1). . .(x+n)

Unicite´delafonctionF: Dans les questions 5 et 6, il est admis qu’il existe une fonctionF,positive (F(x)>0rte]´e,d0)rlsuiefinrd-imedaevuoetio,∞[rifia,v´ehspytnelseseto`h i,iietiii. ´ Etantdonne´unentierstrictementpositifn,soitu n ruseinfie´dnoalofcnit la demi-droite ouverte ]0,∞[ par la relation suivante : x n .n! u n (x) =. x(x+ 1). . .(x+n) 5.D´eterminer,ensupposantler´eelxtimo-vurepravratlelnesier`al’inatpe ]0,1], la limite de la suite (u n (x)) ∗ lorsque l’entiern.tminee´nfiitdnroˆıc n∈N 6.Ende´duirelalimitedelasuite(u n (x)) ∗ lorsque l’entierncroˆıt n∈N ind´efiniment,pourtoutr´eelxstrictement positif.

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7.End´eduirequ’ilexisteauplusunefonctionF-imeiorduseidalrdfin´ete ]0,∞[,vi,e´vreneptsotistrictemse´t´eriopprestlanifii,iietiii.

FonctionΓ: Soitkaeiutursel´rnqfienoai0d]nendoltpclaf,∞[×]0,∞[ par la relation suivante : x−1−t k(x, t) =.t .e ´ 8.Etudier,pourunr´eelxdonn´e,l’ie´tnbargtiliede´folatinc:ont→− x−1−t t .esur la demi-droite ouverte ]0,∞[. SoitΓlafonctionde´finiesurlademi-droiteouverte]0,∞[ par la relation suivante :  ∞ x−1−t Γ (x) =t .edt. 0 ´ 9. Etablir quecette fonction Γ est strictement positive (Γ(x)>0). ´ 10.EtablirquecettefonctionΓestdeuxfoiscontinuˆmentd´erivablesurla demi-droite ouverte ]0,∞rpxeselrennoD.[sire´rceseP.vie´d´erecesonsdessi l’expressiondelade´rive´edelafonctionΓpourx= 1, Γ´(1),au moyen d’une int´egrale. Existence de la fonctionF: 11.De´montrerquelafonctionΓestlafonctionFtedu´snoiuestlesqdansi´ee pre´ce´dentes. Il est admis, dans la suite, que la constante d’Eulerγd´stniefiareplae relation suivante :   n  1 γ= lim−lnn . n−→∞ k k=1

Valeur deΓ´(1): Soit (g n l)edetiusaoitcnofsrteouientp,setruo´dsninfiensuerp´eiruuo n≥1 e´gal`a1(n≥1), sur la demi-droite ouverte ]0,∞[ par la relation suivante : n    x g n (x) =xlnn−lnx−+ln 1. k k=1 12.D´eterminer,a`l’aidedesre´sultatsobtenuspre´c´edemment,lalimitede g n (x) lorsque l’entiern´reeeuelˆorclrsl’ıtveietqinfinx-edimaap`atlreiptan droite ouverte ]0,∞[.

Soit (v n ruottunenfiei,soptieriusal)´esdontincfodeten´erieurousup n≥1 e´gala`1(n≥1), sur la demi-droite ouverte ]0,∞[ par les relations suivantes :

v 1 (x) =g 1 (x) ;pour tout entiernup´erieurou´egala`,2sv n (x) =g n (x)−g n−1 (x).

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∗ 13. Ilest admis que chaque fonctionv n , n∈Nctseitnomuˆndtneri´eblvae;, ∗ d´emontrerquelase´riedesfonctionsd´erive´es,determeg´ene´ralv n ´(x), n∈N, est convergente pour toutxfptisuuintmesipotnemvnocofine´mrergentecietsrt sur tout segment [a, b] contenu dans la demi-droite ouverte ]0,∞[.

14.Ende´duirelalimitedelasuitedesfonctionsde´rive´esg n ´.

15. Quevaut Γ´(1) au moyen de la constante d’Eulerγ?

Seconde partie

Soitsfiti(st´ectrienemostpurne´leodnns >0). FonctionL: ´ 16.Etudierlaconvergencedelase´riedetermeg´ene´ralw n , n∈N,pei´ndfira la relation suivante : n (−1) w n = s . (2n+ 1)

SoitLald´efiniesfonctionoetiord-imedalru]0teeruv,∞[ par la relation : ∞ n  (−1) L(s) = s . (2n+ 1) n=0 17.D´emontrerquelas´erieentie`redetermeg´en´eral n (−1) 2n+1 x ,n∈N, 2n+ 1 estuniforme´mentconvergentesurlesegment[0,1]. Soitϕ(x) la somme de cettese´rie: ∞ n  (−1) 2n+1 ϕ(x) =x . 2n+ 1 n=0 De´terminerlafonctionϕefid´0esmgne[tinseruel,1].´eduireEndL(1).

18. Soith s ]e0evtremi-rladteoudroifin´esuiectonndiofal,∞[, par la relation suivante : lnx h s (x) =. s x ´ Etudier les variations de la fonctionh s fie´ditinS.notiorssuenonmbsedelex s l’abscissedumaximumdecettefonction.Pre´ciserlesvariationsdelafonction s→−x s .

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