Mathématiques I 2005 Classe Prepa HEC (ECT) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2005
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

QUEESSEC 2005 MATHEMATIQUES OPTION TECHNOLOGI EXERCICE I : Calcul matriciel é 1 0 0 ù é 1 0 0 ù ê úê ú On considère les deux matrices suivantes :A=1-1-1 etI=0 1 0. ê úê ú ê- 1 43 ú ê 0 0 1 ú ë ûë û 2 3 1. a) Déterminerla matrice J  telle que : A I J , puis calculer J  et J . n  b)En déduire que, pour tout entier n  supérieur ou égal à 3, J  est égale à la matrice nulle. 2. a) Al'aide de la formule du binôme, montrer que pour tout entiern supérieur ou égal à 2 : n(n1) n2 A=I+nJ+J . 2 b) Endéduire alors, pour tout entiern supérieur ou égal à 2, l'expression sous forme de n tableau de la matrice A . 2 3. a) Développerle produit(I+J)´(I-J+J) . -1 b) Endéduire queA est inversible et préciserA en fonction deet J .  Vérifierque l'égalité obtenue à la question 2.a) reste vraie sin1 . EXERCICE II : Résolution d'une équation numérique On note (E) l'équation numérique suivante :  lnx x0 . L'objectif de cet exercice est, dans un premier temps, d'établir l'existence et l'unicité de la solution de (E) puis, dans un second temps, de démontrer la convergence d'une suite vers ce réel. On pourra utiliser les approximations suivantes à 0,1 près : 2, 7 et 1 / 0, 4 . e e 1. Existenceet unicité de la solution de l'équation (E)  Soit f0,  la fonction définie sur +¥  par : "x0,f(x) lnx x. a) Calculerles limites def0 eten en¥ . b) Dresserle tableau de variations de la fonctionf . c) Montrerque l'équation (E) admet une unique solution dans 0,+¥ . On note a  ce réel. d) Montrer que a  est compris au sens large entreet 1. 1 / e e) Représentersur un même graphique les courbes d'équations respectivesylnx et  , ainsi que le pointA( de coordonnéesa, 0).

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2. Etuded'une fonction  Soitla fonction définie sur 0,+¥  par : xlnx g(x)=. 2 a) Montrerque les équations (E) etg(x)x sont équivalentes. b) Déterminer g  ; dresser le tableau de variations deet en déduire que l'intervalle 1 /,1 eststable par, c'estàdire que pour tout réelde 1/ ,1,g(x) e e appartient à1 /,1 . e c)· Déterminerg et préciser le sens de variation deg. · Enpour tout réelde1 /,1 puis,déduire un encadrement desur l'intervalle e 1 /,1 lamajoration : e e-1 g ¢ (x)£ . 2 e-1 ·l'inégalité suivante : Vérifier£0, 9. 2 · Montreralors que, pour tous réelset y  de,1 , 1 / on a : e  (x)-g(y)£0, 9x-y. 3. Unesuite qui converge vers a .  Ondéfinit la suite (u ) enposant : n == u 1 et "nÎ,u n+1 g(u ) . ¥ 0n a) Al'aide d'un raisonnement par récurrence, déduire de la question 2. b) que pour tout entier naturel n  ,u1 / appartient à,1 . n e b) Montreralors que pour tout entier naturel n : u-a £0, 9u-a n+1n  puisque : n u-a £ ( 0, 9 ) . n c) Conclurequant à la convergence de la suite(u) . n d) Déterminer unentier naturel N  tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N , on ait : u-a £0, 001 . n 3ln10  (ondonne à cet effet l'approximation suivante à 0,1 près : » 65, 6 ). l 10-l 9

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EXERCICE III : Probabilités 1. Questionpréliminaire(une formule sur les coefficients binomiaux)  Démontrerque, pour tous entiers naturelset m1  tels que : p m , on a l'égalité : æ m ö m æ m-1 ö ç ÷ = ç ÷. p pp-1 è øè ø Dans cet exercice,n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient2n boules, parmi lesquellesn  sont numérotées de 1 àn, les autres portant toutes le numéro 0. On s'intéresse à l'expérience aléatoire qui consiste à tirer simultanément dans cette urne n boules au hasard. On considérera qu'un résultat est une partie à n  éléments de l'ensemble des 2n boules (deux à deux discernables) et on munit l'ensembleW des résultats de la loi de probabilité uniforme(hypothèse d'équiprobabilité). 2. a) Quelest le nombre de résultats possibles de l'expérience aléatoire étudiée ?  b)Quelle est la probabilité de n'obtenir que des boules portant le numéro 0 ? c) Soiten entier compris au sens large entre 1 et n . æ 2n-1 ö  Justifierqu'il existe exactement ç ÷ . tirages où apparaît la boule numérotée n-1 è ø Dans la suite de cet exercice, pour tout entier naturelcompris au sens large entre 1 etn , on noteX la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule portant le numéro i  fait partie du i tirage et la valeur 0 sinon. 3. Soit i  un entier naturel compris au sens large entre 1 et n . a) Déterminerla loi de la variable aléatoire X  (on veillera à donner une expression très i simple des résultats en utilisant 1.). b) Préciser l'espérance et la variance deX. i 4. Soient i  etdes entiers naturels compris au sens large entre 1 et n . a) Calculerla probabilité que la variable aléatoire produit X X  prenne la valeur 1. i j n-1  Endéduire que l'espérance E(X X ) de X X  vérifie :E(X X )=. i ji j i j 2(2n-1) b) Calculer la covariance desvariables aléatoiresX etX . Ces variables aléatoires sont i j elles indépendantes ?  Calculerla variance de la variable aléatoire :X+X . i j n 5. OnnoteS la variable aléatoire définie par :S=i X . å i i=1 a) Interpréterla variable aléatoireS. b) Calculerl'espérance de S . c) Quelleest la plus petite valeur den telle que, en moyenne, la somme des points lus sur les

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boules tirées dépasse 30 ? 6. Soitla variable aléatoire qui donne le nombre de boules portant le numéro 0 obtenues dans le tirage. a) Déterminerla loi de probabilité de. 2 n æ n ö æ 2n ö å  Endéduire l'égalité ç ÷ = ç ÷ . k n è øè ø k=0 b) Dans le cas particulier oùn.est égal à 2, calculer l'espérance et la variance de 7. Enfin,soit lavariable aléatoire donnant le nombre de boules portant un numéro non nul obtenues dans le tirage. a) Quepeuton dire de la variable aléatoire? (est définie à la question 6.)  Endéduire une relation simple entre : ·celle de; l'espérancede et · la.et celle devariance de b) Quepeuton dire sans effectuer le moindre calcul, des lois de probabilité deet ?  Préciseralors l'espérance de chacune des variables aléatoireset ;vérifier la cohérence du résultat avec celui de la question 6.b) . c) Exprimerà l'aides des variables aléatoires X, ,X . 1n …  Retrouverla valeur : ·l'espérance de; de · dela variance de, dans le cas particulier où n  est égal à 2. 2 n æ n ö d) Du calcul de l'espérance de, déduire une expression simplifiée de la sommek ç ÷ . å k k=0 è ø

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