Mathématiques I 2006 Classe Prepa HEC (STG) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2006
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 249
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION TECHNOLOGIQUE MATHEMATIQUESI Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Lépreuve comprend trois exercices indépendants.

EXERCICE 1 Une société de location de voitures possède trois agences, une à Rennes, une à Lyon, une à Marseille. Lorsquun client loue une voiture, un jour donné, dans une des trois villes, il la restitue le jour même dans une des trois agences. On suppose quune voiture donnée nest louée quune seule fois dans la journée. Une étude statistique a permis de montrer que, pour une voiture donnée : 1 est louée à Rennes un certain jour, alors elle est laissée le soir à Lyon avec la probabilitési elle , tandis 4 3 quelle est laissée à Marseille avec la probabilité; 4 1 si elle est louée à Lyon, alors elle est laissée à Rennes avec la probabilité, laissée à Marseille avec la 2 1 1 probabilité ,et ramenée à Lyon avec la probabilité; 4 4 1 , laissée à Lyon avec la probabilitési elle est louée à Marseille, elle est laissée à Rennes avec la probabilité 2 1 1 , et ramenée à Marseille avec la probabilité. 4 4

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Pour toutndeN, on noteR n (respectivementL n ,M n la voiture se trouve à Rennes (respectivement) lévénement « Lyon, Marseille) le soir dun-ième jour ». On considère les probabilités suivantes :r n =P(R n ); l n =P(L n ); m n =P(M n ). On suppose quau départ, la voiture est à Rennes, et on pose donc :r 0 = 1; l 0 = 0; m 0 = 0. 0 1 1 0 0 @ A On désigne parIla matrice identité dordre 3, dénie par :I1 0= 0. 0 0 1 0 1 r n @ A 1. Pourtout entierndeN, on dénit la matrice colonne à trois lignesU n par :U n =l n . m n (a) Vérierque, pour toutndeN, on a la relationU n+1 =AU n , oùAest la matrice carrée dordre 3 suivante : 0 1 1 1 0 2 2 1 1 1 A= B 4 4 4 C @ A 3 1 1 4 4 4 (b) ExpliciterU 0 . Etablir,à laide dun raisonnement par récurrence que, pour toutndeN, on a : n U=A U. n0 n 2. Onse propose dans cette question de calculerA : 0 1 4 10 @ A On considère la matriceS,carrée dordre 3, dénie par :A= 30 1. 511 1 (a) Montrerque la matriceSest inversible et calculer explicitement sa matrice inverseS. 1 (b) Onpose =S ASsous forme de tableau, la matrice. Expliciter,. n (c) Donner,pour toutndeN, lexpression sous forme de tableau de la matrice. 1n n1 (d) ExprimerAen fonction deS,Set. Endéduire que, pour toutndeN, on aA=SS. n (e) Donner,pour toutndeN, lexpression sous forme de tableau deA.  3. (a)Exprimer, pour toutndeN,r n ; l n ; m n en fonction den. (b) Déterminerles limites de ces probabilités quandntend vers+1. 4. Lesoir dun jour donné, si on désire, où quelle se trouve, rapatrier la voiture à Rennes, le coût de cette opération est de 100 euros si la voiture est à Lyon, de 150 euros si la voiture est à Marseille, et évidemment nul si la voiture est à Rennes. On noteX n la variable aléatoire égale au coût de cette opération le soir dun-ième jour. (a) Donnerla loi deX n . (b) Calculerlespérance mathématique deX n .

EXERCICE 2 On désigne parfune fonction dénie et continue sur[0;1]et on considère la suite(I n )dénie par : n2N 1 1 Z Z n I 0 =f(x)dxet, pour toutndeN; I n =x f(x)dx 0 0 Lobjet de cet exercice est détudier la suite(I n )pour di¤érentes fonctionsf. n2N

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  2 1. Danscette question, on suppose quefest dénie par :f(x) = ln1 +x. (a) Montrer,à laide dune intégration par parties, que pour toutndeN, on a : 0 1 1 Z n+2 1x @ A I n = ln22dx : 2 n1 ++ 1x 0 n+2 x n+2 (b) Etablir,pour toutxde[0;1], lencadrement :06 6x. 2 1 +x 1 n+2 R x (c) Montrerquelimdx= 0. 2 1 +x n!+1 0 (d) Quelleest la limite denI n quandntend vers+1? 1 2. Danscette question, on suppose quefest dénie par :f(x) =: 2 1 +x+x (a) PourtoutndeN, calculerI n +I n+1 +I n+2 en fonction den. (b) Etudierla monotonie éventuelle de la suite(I n ): n2N (c) Endéduire, pour toutnsupérieur ou égal à2, lencadrement : 1 1 6I n 6: 3(n+ 1)3(n1) (d) Quelleest la limite denI n quandntend vers+1? x 3. Danscette question, on suppose quefest dénie par :f(x) =e, où e désigne la base des logarithmes népériens. (a) Montrerque la suite(I n )est décroissante.En déduire quelle est convergente. n2N 1 (b) Etablir,pour toutndeN, lencadrement :06I n 6:En déduire la valeur de la limite de la suite n+ 1 quandntend vers+1. (c) Exprimer,pour toutndeN,I n+1 en fonction deI n : (d) Endéduire la limite denI n quandntend vers+1:

EXERCICE 3 8 10 < six>0 2 On notefla fonction dénie surRpar :f(x) = (x+ 10) : : 0sinon

Partie 1 1. Vérierquefpossède toutes les propriétés dune densité de probabilité. Dans toute la suite de cet exercice, on considère une variable réelleXayantfpour densité. 2. Déterminerla fonction de répartition deFdeX. 3. Endéduire la probabilité de lévénement(X >10):   1 10 4. (a)Vérier que, pour tout réelxpositif ou nul,xf(x) = 10 : 2 x+ 10(10 +x)  R (b) Calculer,pour tout réelstrictement positif, lintégralexf(x)dx: 0  R En déduire la valeur delimxf(x)dx: !+1 0 (c) Lavariable aléatoireXadmet-elle une espérance mathématique ?

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Partie 2 Un appareil constitué de 6 composants fonctionne tant que quatre au moins dentre eux sont en état de marche. La durée de vie, en heures, de chaque composant est une variable aléatoire réelle suivant la même loi queX. On suppose que les durées de vie des di¤érents composants sont mutuellement indépendantes. On désigne parYla variable aléatoire égale au nombre de ces composants qui sont encore en état de marche au bout de cinq heures.

1. (a)Quelle est la probabilité quun composant quelconque fonctionne encore au bout de cinq heures ? (b) Reconnaîtrela loi deY.

2. Quelleest la probabilité que lappareil fonctionne encore après cinq heures dutilisation ?

Partie 3 Un autre appareil est constitué de deux composants semblables aux précédents, montés de telle façon que dès que lun des deux composants tombe en panne, lappareil est en panne. SoitX 1 etX 2 les variables aléatoires égales à la durée de vie de ces composants; on suppose toujours queX 1 et X 2 sont indépendantes et quelles suivent la même loi queX. On noteZla durée de vie de lappareil et on admet queZest une variable aléatoire à densité. On désigne parGla fonction de répartition deZet pargune densité deZ.

1. JustierqueZ= inf (X 1 ; X 2 ): 2. (a)Déterminer, pour tout réelxstrictement positif, la probabilité de lévénement(Z > x). (b) Calculer,pour tout réelx,G(x)etg(x): 3. (a)Trouver deux réelsaetbtels que, pour tout réelxpositif ou nul, on ait : x a b = +: 3 23 (x(+ 10)x+ 10)(x+ 10) (b) Endéduire queZpossède une espérance mathématiqueE(Z)et la calculer. 4. On constate que cet appareil fonctionne toujours au bout de dix heures.Quelle est la probabilité quil fonctionne encore au moins cinq heures de plus ?

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