Mathématiques II 2000 Classe Prepa B/L HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2000 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 74
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES II Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires discrètes.Il se compose de quatre parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.

Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.

On considère une urneU n contenantnboules numérotées de 1 àn: On tire une boule au hasard dansU n . Onnotekle numéro de cette boule. Sikest égal à 1, on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à 2, on enlève de lurneU n , les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de 1 àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro 1. On noteX n la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro 1. On noteY n la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(X n )etV(X n )(respectivementE(Y n )etV(Y n )lespérance et la variance deX n (respectivementY n )

Partie 1. n P 11 1 1. Onpose :h n 1 ++= =  +. k2n k=1

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(a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)ln(k)6 k+ 1k oùlndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6h n 61 + ln(n): (c) Déterminerun équivalent simple deh n quandntend vers linni. n P 1 11 2. Onpose :k n +1 += =  +. 2 2 k4n k=1 1 11 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à 2, linégalité :6. 2 k k1k (b) Endéduire la majoration :k n 62: (c) Déterminerun équivalent simple deh n k n quandntend vers linni.

Partie 2 :Étude de la variable aléatoire X n .

On noteI n la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneU n . 1. (a)Quelle est la loi deI n ? (b) Quelleest la loi conditionnelle deX n sachantI n = 1? (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer :  8j2N;8k2 f2;:::;ngP(X n =j=I n =k) =P(X k1 =j1)

2. (a)Quelle est la loi deX 1 ? (b) Quelest lévénement(X 2 = 1)? Donnerla loi deX 2 son espérance et sa variance. (c) Déterminerla loi deX 3 son espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queX n prend ses valeurs dansf1; 2;:::;ng. (b) DéterminerP(X n = 1)etP(X n =n). (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer : n X 1 8j>2; P(X n =j) =P(X k =j1) n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à 3 etjsupérieur ou égal à 2, calculer : nP(X n =j)(nl)P(X n1 =j): En déduire, sinest un entier supérieur ou égal à 2 : n1 1 8j>1P(X n =j) =P(X n1 =j) +P(X n1 =j1): n n 1 4. (a)Sinest supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant 3.d :E(X n ) =E(X n1 ) + n (b) EndéduireE(X n )et donner un équivalent simple deE(X n )quandntend vers linni. 2 2 périeur ou égal à 2, calculerE(Xen 5. (a)Sinest su n )fonction deE((X n1 ) )et deE(X n1 ). (b) Endéduire :V(X n ) =h n k n (en reprenant les notations introduites en Partie 1).

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(c) Donnerun équivalent deV(X n )quandntend vers linni. 6. Soit(T i ) i>1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutientier naturel non nul,T i n 1 P suit la loi de Bernoulli de paramètre. Onpose :S n =T i =T 1 +  +T n i i=1 (a) VérierqueX 1 etT 1 ont même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer pour toutjentier naturel non nul : 1n1 8j>1P(S n =j) =P(S n1 =j1) +P(S n1 =j): n n En déduire queX n etS n ont même loi. (c) RetrouverainsiE(X n )etV(X n ). n P k 7. Ondénit le polynômeP n par la relation :8x2R; P n (x) =x P(X n =k): k=0 (a) DéterminerP 1 etP 2 : n1 +x (b) Sinest supérieur ou égal à 2, à laide du 3.d., montrer :8x2R; P n (x) =P n1 (x) n (c) EndéduireP n . (d) DéterminerP(X n =n1) 0 (e) CalculerP(1)et retrouverE(X). n n

Partie 3 :Étude de la variable aléatoire Y n . 1. Donnerla loi deY 1 . 2. (a)Quelles sont les valeurs prises parY 2 ? (b) Déterminerla loi deY 2 . 3. (a)Sinest supérieur ou égal à 2, montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à 2 : P(Y=j=I=k) =P(Y=jk): n n k1 (b) Sinest supérieur ou égal à 2, en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à 1 : n1 1 P(Y n =j) =P(Y n1 =j) +P(Y n1 =jn): n n (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer :E(Y n ) =E(Y n1 ) + 1.Que vautE(Y n )pour tout entiernnon nul ?

Partie 4. On considère lurneU n contenantnboules numérotées entre 1 etn:À partir de lurneU n , on e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans len-tête du problème.Pourientier def1; 2;:::;ng, on dénitZla variable aléatoire égale i à 1 si, au cours de lun quelconque des tirages.on a obtenu la boule numéroi;égale à 0 sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZ n ? Quedire de la variableZ 1 ? 2. (a)Sinest supérieur ou égal à 2 etiun entier def1; 2;:::;ng, montrer la relation : n X (n) 1 (k1) P(Z+= 1) =P(Z= 1) i i n k=i+1

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(n)  (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; 2;:::;ng,Zsuit la loi de Bernoulli i 1 de paramètre: i n P (n) 3. QuevautZ? RetrouverainsiE(X n ): i i=1 4. RetrouverE(Y n ).

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