Mathématiques II 2000 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2000
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 111
• Langue: Français

Extrait

ESSEC 2000, math2, Option scientifique

Onconsid`ereuncombatentretroistireursA,B,C,quireuoes´dnuseelne´ed’teuisdveeuprale fac¸onsuivante,jusqu’a`e´liminationd’aumoinsdeuxdestroistireurs: •nastepdndne´noitres.sautnsdelesustlessirusTo •LorsqueAevdaiasrseerge´t’iquttlagneionesale`a2al,eriturpo´eitilabobpr/3. •LorsqueBosengietasrevdanouept´liatilu’rqiterl,paorabibst´eiree`a1gale/2. •LorsqueCeittesgnquurla’itiliope´rpalbaboegale`a1iaerse´tnodaevsrri,et/3. •ssuieLuovreses.vantle,inteitttaesrsueritsednu’uqeuq´epredesmin´´eliemtnitevfieints´d •es,lesuvsnurretierocneno´nimile´ucencAahpeered´sxeuestirentsimultane´emtntehccanu’d viseleplusdangereuxdesesrivauxnonencoree´limin´es. (Ainsi,`alapremie`ree´preuve,AviseBtandisqueBetCvisentA). Pour tout nombre entiern≥snoce`dino,1ne´entmelereevs´ntvauisss: hh ii ABC n ssi’la`:aledeun-e´epi`eme,reuvA,BetCenosescntnape´orimel´ein.s AB n e:laa`si’ldeusnevs,uesl-i`eme´epreuAetB.s´eenionsmile´erocnesaptn hh ii Onde´finitdefa¸conanalogueles´eve´nementsBC n etCA n . A n aelisl’edsu:a`n`e-ievs,ueleme´rpueA´elimin´en’e.stpas hh ii Onde´finitdefa¸conanalogueles´ev´enementsB n etC n . ∅ n ’la`ussiaede:ln´epr`eme-itsrirtiol,seueevn´mili´entsorseu.se hh ii Enfin,ABC 0 lt´’vee´enemtnecrsteain,AB 0 ,BC 0 ,CA 0 ,A 0 ,B 0 ,C 0 ,∅ 0 .biel´’l´eevmeneimntsspo Partie I Ond´eterminedanscettepartieIlesprobabilite´spourqueA,B,Cremportent le combat. 1)laCdluclit´es.eprobabi a)Exprimer, siUetVocleuqstnemene´v´euxdentneigesd´no´n´sdeibilorabacepnespsd’unque,e laprobabilite´p(U∪Vde)´el’env´menetU∪Ven fonction dep(U),p(V) etp(U∩V). b)obprlare´eitilabiude´dnE`alaeuvelepaqueluq`’oprue´rpuaentipenrticA,B,C (Arate son tir) et (BouClentseissseur´.)ritru c)ueaqeplluvreale`tnitraepicbabilit´irelaproa`nu´epepeuoqr’uude´dnEA,B,C (Asuisre´it)rstnoet(BouCtrueltne.)rirsiss´eus 2)´Dnamieretprdeontibobalitie´csnoidtionnelles a)qrer’leu´ve´menetenMontAB n est impossible pour tout nombre entier natureln. Danslasuite,onneconside´reradoncqueles´eve´nementsABC n ,BC n ,CA n ,A n ,B n ,C n , ∅ n . b)paorabibilicetlrExpellnoce´tilennoitidp(ABC n+1 /ABC n ). c)Expliciterp(BC n+1 /ABC n al’a)`ui,ponsdrnedediqaletseu1noip(CA n+1 /ABC n ). d)Expliciterp(A n+1 /ABC n ),p(B n+1 /ABC n ) etp(C n+1 /ABC n ). e)Expliciterp(A n+1 /CA n ),p(B n+1 /BC n ),p(C n+1 /CA n ) etp(C n+1 /BC n ). f )Expliciterp(∅ n+1 /ABC n ),p(∅ n+1 /BC n ) etp(∅ n+1 /CA n ). 3)nd’´eprembremoyeoNbmtaelocch’ave`eelqussleussisedesevu’la` On noteT’ialuessquduceellesseeatoeal´iablavarls`veeupr´ed’remboneltnauqidnieri combat,c’est`adireaudel`aduquelilnerestequ’untireurauplus. a)eelleuQborpaltsit´eabil´ev´del’netnemeT= 1 ? b)Soitn≥elucpalr2laC.edt´’´elbarolibitnusvinavee´enemt: ABC 1 ∩ABC 2 ∩. . .∩ABC n−1 ∩ABC n c)Soitn≥ru0tssuementspoivanaprllecual.C2lera´tdeibilorabv´enes´eiond´eun≤k≤n−1 : ABC 1 ∩. . .∩ABC k ∩CA k+1 ∩. . .∩CA n (pourkmenetli,0=s’agitdel’´ev´enCA 1 ∩CA 2 ∩. . .∩CA n ).

d)Soitn≥ne´entmedeonevs´uops0riusstnavlaprobabCalculeral´rueinlitie´ed2.≤k≤n−1 : ABC 1 ∩. . .∩ABC k ∩BC k+1 ∩. . .∩BC n (pourkgi’als,i=0tnemene´ve´’ledtBC 1 ∩BC 2 ∩. . .∩BC n ). e)Soitn≥e.C2cualellrpaorabibil´tp(nT >)pourquelee`n´mieruess’ialentabmoctsaptios de lanetenuve,uired´ed-`ipeerme´eitil´eprlaabobp(T=nire´arefi)vno(formulequecette redonne bien pourn=.)anoitseuqala`unteobatltsu´eer1l f )eimr´dgetsearee´adrellenoesem´muelafierq´eriVp(T=n) (avecn≥`elage´tsiup,1a1)es d´eterminersousformedefractionirr´eductiblel’esp´eranceE(Ted)avalabrialleat´ereoiT. 4)it´eabilProbqreupsuoA,B,Cremportent le combat a)´enementve´’leuqrertnoMArempouessladeab`tlai’trlecemoni`-e´emtseerpeevu hh ii impossible sinu’rqrentegt´esiltnavissomte,1=´enes´evssuimental´rlaa`noedueinn≥2 : ABC 1 ∩. . .∩ABC k ∩CA k+1 ∩. . .∩CA n−1 ∩A n pour 0≤k≤n−2 (pourktne=m0e,ni´eev’´eltdgi’alsCA 1 ∩CA 2 ∩. . .∩CA n−1 ∩A n ). b)equ´eiturpobalirpborealclluCaAtabm’la`etroocelampreissuedeln(-i`emee´rpueevn≥2). c)eralrpbonE´ddeiupourqueabilit´eAoceltabmpmeretrorediurpo’e(c`astsaioptnlseuqi’ e´limin´ea`l’issueducombat). d)te´Dlameˆeemrdnemierprobabilit´epouruqeBremporte le combat. e)Dte´einrmedremeˆmpaleabort´epbiliueourqCremporte le combat. Partie II Danscettepartie,onretrouvepardesme´thodesmatricielleslesprobabilite´spourqueA,B,C remportentlecombatenn’utilisantquelesre´sultatsdesquestionsI.1etI.2. 1)Expression de la matrice de transitionM a)matairecc-lonoenOnconsid`erelE n rd,eontdntssetoranscpesseltneme´le´tptse`adoesgnli du haut vers le bas,p(ABC n ),p(BC n ),p(CA n ),p(A n ),p(B n ),p(C n ),p(∅ n )). Expliciter une matriceMacrre´de´erifiant’ordre7vbmonneerruoptuotlreertitunan: E n+1 =M E n . Onv´erifieraquelasommedechacunedesseptcolonnesdecettematriceMest´egale`a1. b)Edne´udrieE n en fonction den, deMetE 0 . 2)Calcul des puissances de la matriceM 0 00 a)`eidnscoOnee´tse3noordresd’rr´eseacrtcixuameredU,Uet deux matrices rectangulaires 0 00 a`4ligneset3colonnesnot´eesV,Vamselemracsecirtfoonl’etesd’rr´ee7:ordr    0 00 0 U0 00 U0 M=, M= 0 00 V I 4 V I 4 o`u0de´signelamatricenulle`a3ligneset4colonnesetI 4 d’ordre4.lmataireci-edtntie´ V´erifiera`l’aidedesre`glesduproduitmatriciell’´egalite´suivante:   0 00 0 00 U U0 M M= 0 0000 V U+V I 4   U0 Expliciter les matricesUetVtelles que :M= . V I 4 b)usecruce´nerrfinenrrpataEirbln≥1tn:euivat´esgalil’´e   n n U0 M= n−1 V+V U+∙ ∙ ∙+V UI 4 3)Diagonalisation de la matriceU a)rppoersDete´inrmleeralsvrseuλ 1 , λ 2 , λ 3 deUavecλ 1 < λ 2 < λ 3 et les vecteurs propres associ´esV 1 , V 2 , V 3 tels que - laremi`epercomposante deV 1 vaut 1. 2