Mathématiques II 2002 BTS Informatique de gestion

Description

Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques II 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2002

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 juin 2007
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

BTS INFORMATIQUE DE GESTION

SESSION 2002

Durée :

1 heure

Coefficient :

1

ÉPREUVE

FACULTATIVE

Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

une part importante dans l’appréciation des copies.

L’usage des calculatrices est autorisé.

Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet.

Soit

f

la fonction de la variable réelle

x

définie sur

¡

par :

( )

(

)

e

e

x

x

f x

x

-

=

+

.

1)

Montrer qu’on peut écrire

f

(

x

) = 2

x

+

x

3

+

x

3

ε

(

x

)

avec

0

lim

x

→

ε

(

x

) = 0.

2)

Calculer à l’aide d’une intégration par parties la valeur exacte de l’intégrale

I =

∫

1

0

d

)

(

x

x

f

.

3)

Calculer la valeur exacte de l’intégrale

J =

1

3

0

(2

) d .

x

x

x

+

ò

4)

Vérifier que :

| I – J | < 0,02.

Les probabilités seront données sous la forme décimale arrondie à

3

10

-

près.

La fonction de fiabilité d’un composant

C

est définie par :

R

(

t

) =

0,0125

e

t

-

, (t en jours).

On note

X

la durée de vie aléatoire (en jours) du composant C.

1)

Quel est le temps moyen de bon fonctionnement du composant C ?

2)

Quelle est la probabilité que le composant C fonctionne encore au bout de 60 jours ?

3)

Au bout de combien de jours la fiabilité deviendra t-elle inférieure à 0,1 ?

4)

Un dispositif utilise 4 composants C identiques, fonctionnant simultanément et

de manière indépendante. Le dispositif est

opérationnel

si

au moins 3

de ces

composants fonctionnent.

On note

F

le nombre aléatoire de composants qui fonctionneront encore dans

60

jours, et on admet que F suit la loi binomiale

b

(4 ; 0,47).

Quelle est la probabilité que le dispositif soit opérationnel dans 60 jours ?

EF2 :

MATHÉMATIQUES

II

EXERCICE

N° 1

(

10 points)

EXERCICE

N° 2

(

10 points)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BTS

Informatique de Gestion

Session 2002

Corrigé de l’épreuve de mathématiques EF2

Sujet

B

Page 1 sur 1

CORRIGE DU SUJET :

B

BTS INFORMATIQUE DE GESTION

SESSION 2002

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

EF2

Question

Correction

Barème

proposé

Exercice I

1)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

2

2

1

1

0

2

2

2

2

0

2

2

3

3

0

e

1

avec

lim

0

(l'ordre 2 suffit).

2

e

1

avec

lim

0

2

On en déduit :

2

2

, avec

lim

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→

-

→

→

= +

+

+

=

= -

+

+

=

=

+

+

=

+

+

=

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

3

2)

Posons, pour le calcul de I

:

( )

( )

( )

( )

'

1

'

e

e

e

e

x

x

x

x

u x

x

u

x

v

x

v x

-

-

=

=









⇒





=

+

=

-









, on obtient :

(

)

(

)

(

)

1

1

1

0

0

0

2

I

e

e

e

e

d

e

e

e

e

2

.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

-

-

-

-









=

-

×

-

-

=

-

×

-

-

=

-









∫

3

3)

1

4

2

0

5

.

4

4

x

J

x

é

ù

=

+

=

ê

ú

ë

û

2,5

4)

3

2

5

2

0,014 à 10 près. On a bien

0,02.

4

I

J

I

J

e

-

-

=

-

-

=

-

<

1,5

Exercice II

1)

La MTBF est

1

λ

, avec ici

0,0125

λ

=

. La MTBF est donc égale à 80 jours.

2

2)

La probabilité demandée est donnée par :

(

)

(

)

0,0125 60

0,75

3

P X

60

60

e

e

0,472 (valeur arrondie à 10 près).

R

-

´

-

-

>

=

=

=

=

2

3)

( )

0,0125

ln10

0,1

e

0,1

0,0125

ln0,1

.

0,0125

ln10

184,2 : la fiabilité deviendra inférieure à 0,1 à partir de 185 jours.

0,0125

t

R t

t

t

-

<

Û

<

Û -

<

Û

>

»

3

4)

Le dispositif est encore opérationnel au bout de 60 jours si

F

3

³

.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3

1

4

0

3

4

4

4

P F

3

P F = 3

P F = 4

0, 47

0,53

0, 47

0,53

0, 269.

C

C

³

=

+

=

´

+

´

=

3