Mathématiques II 2002 Classe Prepa HEC (S) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002
• HEC

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français

Extrait

HEC 2002, math II Lesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceprobl`emesonttoutesde´finiessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,B, Pleel.selrurse´ava`te) L’esp´eranced’unevariableale´atoireXe´eesottnE(X). Onadmetlesre´sultatssuivants: i) siXetYre´pecna´vtefiireosspeds´tuanesneantl’in´egalit´eravxuedtnosreoiat´ealesblia X6Yce’ts`--aideranifierv´tX(ω)6Y(ωotruop)me´le´tuentωe´ag’lni:eil´tdeΩ)sonaalor E(X)6E(Y). ´ ii)Etantdonne´unefonctionfcontinue sur [0,+∞evariabl[etuneriotae´laeYssopeunntda´e Z +∞ densit´eϕcontinue sur [0,+∞[ et nulle sur ]− ∞,sil’0[,egraint´elf(u)ϕ(u) duconverge 0 absolumentalorslavariableal´eatoiref(Yceanerv´anifit:)pso`sdeueense´pre Z +∞   E f(Y) =f(u)ϕ(u) du 0 PartieI:D´efinitiondel’applicationL On noteEe’l0[rtincfoesedblemnsllse´dfienofs´reetinuessunies,con,+∞[ et telles que, pour Z +∞ −xt toutr´eelxeni’l,fitelarge´tteictrssipontmef(t) dtconverge absolument. 0 1)a)´eVfieriuerqEtsesenuecaptcevorielr´eel. b)irefiqreuV´eEcnoitne0us[res´ernboetesnutinocsnoitcnofselt,+∞[. 2)temen´el´toutoPrufdeEon noteL(fletruorte´iefinou,pioct´endl)nofaxstrictement positif, par : Z +∞ −xt L(f)(xe) =f(t) dt 0 a)´VrefiiquereLdenetuplapese´nieriatacilnoiEdans l’espace vectoriel des fonctions de ]0,+∞[ dansR. −λt b)lee´rtuotruoPλpositif ou nul, on noteε λ e´rnellefie´dpeinarlafonctioε λ (t) = epour toutr´eeltisitopul.Vfounfierq´eritruop,eulee´rtuoλpositif ou nul, la fonctionε λ est dans Euotre´rtteuop,elxstrictement positif, calculerL(ε λ )(x). c)ee´rtuotruop,euqertronMlλpositif ou nul et toute fonctionfdeE, la fonctionε λ fest aussi dansEeelv´etrefii,eopruottu´rx:´el,fitisotilage´’strictementpL(ε λ f)(x) =L(f)(x+λ). 1 3)euned`ertionfoncnoisOcnHntde´eme´elE, de classeCr[sueen´ortbeentsiasc,or0,+∞[. 0 Montrer que la fonctionHest aussi dansEluttoeer´e,topruxstrictement positif, justifier l’´egalite´: 0 L(H)(x) =−H(0) +xL(H)(x) 4)Soit une fonctionfnedteeml´´eE. Pour tout entier naturelnertneuqrofalitcnquonai`,mo n toutr´eeltpositif ou nul associet f(tsuatse)eentdl´emsi´eE. PartieII:D´erivabilit´edelafonctionL(f) Danstoutecettepartieonconside`reunr´eelxstrictement positif et une fonctionfnedt´lme´eeE. x 1)Soithr´eeunnulvlnont´lieire´tnafini’lage´|h|<. 2 a)ruottu´reelPottcitee´me:ntpositif,justifierl’in´etgsailr 2 2 h t −(x+h)t−xt−xt−xt/2  e−e +hte  6e 2 b)uoPtr´ertouelTtnopetem,fujisittrics:e´tl’erifistliga´ein Z  Z T −(x+h)t−xt +∞ e−e|h| −xt2−xt/2 f(t) +tef(t) dt6t|f(t)|e dt  h  2 0 0

c)uired´edEnuqeL(frevits´dleaeb)enxuetqnnsoe´virneerbmoe´dexvaut : Z +∞   0 −xt L(f) (x) =−tf(t)e dt 0 d)Montrer que la fonctionL(fminee´nfiiravdte´ur]0blesndties),+∞[ et, pour tout entier naturelkiaed’dnuietne´rgalelavaleurdelade´ir´veedo,ernnl’`ake-`imedeL(f) enx.

PartieIII:Injectivite´del’applicationL:f7→L(f) Danstoutecettepartieonconside`reunre´elxstrictement positif et une fonctionfcontinue et born´eesurl’intervalle[0,+∞[. Ainsifdementel´e´tseE. 1)Soit (X n ) n∈N l´saleabrivadetenepe´dniseriotaeslteoialpoex-tsneaiduussneunaviuott ∗ 1 nentielledeparam`etre´egal`a(doncd’espe´rancex). Pour tout entier natureln, on pose x n X S n =X k . k=1 a)neruDontae´eriobairlaelde´evaladeneitnsS n . S n b)’unoonetsntie´q,nerunedeDonraϕ n .eriotae´laebliaaravel,d n 2)a)Soitαuioseivt.tfnroPpgeetleamlrrt´c’i:eelsiutn´re´   S n limP−αx >= 0   n n→+∞ b)canoituntie´edalfonctionutEntlanisilfenxuotre´rtle,pouεstrictement positif, justifier l’existenced’unre´elαstrictement positif tel que, pour tout entier naturelnnon nul, on a :      S n S n f−f(x)> ε⊂ −x >α    n n c)Soitεtpenemct.Pifitosrnuirtslee´e:re’lorvuil´te´ag     S n limP f−f(x)> ε= 0  n n→+∞ 3)On noteMun majorant de|f|sur [0,+∞[. a)SoitεtuotruoP.fitisopntmeteictrlseer´unltureernaentin, on noteA n e´en´’ventmle:     S n A n =f−f(x)6ε  n et1 A n :stae´erioeufislvriin’a´entegceJl.astuiiet´inadbilceastarlientresvoanri   S n f−f(x)6ε1 A n + 2M(1−1 A n )   n b)nE:e´tgalil’´euired´ed     S n limE f=f(x) n→+∞ n 4)a)ga´et´lie:´eDduiredesquestionps´rcee´edtnse’l Z n +∞ n n−1−nt/x f(x) =limt f(t)e dt n n→+∞ (n−1)!x 0 puisl’e´galite´ n n−1     n(−1) (n−1) n f(x) =limL(f) n (n−1)!x x n→+∞ b)Montrer que si deux fonctionsfetgtborn´eentinueseoc[0ellavretni’lruss,+∞tenifierv´[ L(f) =L(g) alorsfetg.alest´egson c)Muxfonctionse´sitnemeuq,edistron,perspluecr´fetgnoitunseteobnre´ce’irlsuesllvaernt [0,+∞v[tnefiire´L(f)(x) =L(g)(x) seulement pour toutxdans ]a,+∞`oau([ifouositestp nul) alorsfetgcnetnos.esalege´or 2