Mathématiques II 2002 Classe Prepa MP Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002

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• Publié le: 26 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

A 2002 Math MP 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière MP (Durée de l’épreuve:4 heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.

Cet énoncé comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Il est conseillé aux Candidats de lire le problème en entier. Les deuxième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des parties précédentes.

Le crible d’Ératosthène donne un algorithme qui permet de savoir si un entier est premier ou non. Il est par suite possible d’indexer la suite des nombres premiersp i ,i1, 2,: p 1 2,p 2 3,p 3 5, ... Dans tout le problème la lettrepest réservée aux nombres premiers. Étant donné un réelx, sa partie entière  x  est l’entiernqui vérifie la double inégalité suivante :  x  nxn1. Étant donné un réelx, supérieur ou égal à 2,  x2  , il existe un entierNégal au rang du plus grand nombre premierp N inférieur ou égal àx p N sup  ppx 

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Première partie

Le but de cette partie est de d�montrer que la suite des nombres premiers est illimit�e et d' �tudierla nature de la s�rie de terme g�n�ral 1/p i ,i1, 2,.

I-1.La suite des nombres premiers est illimit�e: D�montrer que la suite des nombres premiers est illimit�e en consid�rant, par exemple, pour nnombres premiersp 1 ,p,p n donn�s, l'entierQd�fini
partir de cesnnombres premiers 2, par la relation suivante : n Q p 1 .p 2 ..p n 1  p i 1.   i1

Dans toute la suitenest un entier sup�rieur ou �gal
2  n2  ,sun r�el donn�strictement positif  s0 

I-2.EnsembleM n : a. Justifier la relation suivante :

 1 1 1 1 s  . n k s n k0

b. Soientaetbdeux entiers, diff�rents l' un de l' autre, tous les deux sup�rieurs ou �gaux
2 (ab,a2,b2) ; d�montrer que la s�rie double de terme g�n�ralu,i0, 1, 2,, i j j0, 1, 2,, d�finipar la relation suivante 1 u,i0, 1, 2,,j0, 1, 2,. i j i sj s a.b est sommable. D�terminer sa sommeS. Soientp 1 ,p,p n lesnpremiers nombres premiers,M n des r�els obtenus enl' ensemble 2, s ss consid�rant tous les produits des r�els  p 1  ,  p 2  ,,  p n  �lev�s
des exposants i , 1inpositifs ou nuls., entiers   s 1 s 2 s n M n mm  p 1  .  p 2  ..  p n  , i N.

  s 1 s 2 s n n c. D�montrer que l'application 1 , 2 , ..., n  p 1  .  p 2  ..  p n  , deNdans M n indexer les r�elsil est possible d', estinjective. En d�duire qu'mdans l' ordre croissant :  l' applicationim i est strictement croissante deNsurM n . Exemples :de la suit  �crire la suite des 12 premiers termese  m i i N lorsque le r�elsest �gal 
1 et l' entiern�gal
2 puis
3.

 Il est admis que la s�rie de terme g�n�ralv i 1/m i ,iN, estconvergente ; sa somme est 1 d�sign�e par le symbole :  malin�a b, le r�sultat plus g�n�ral. Comme le laisse pr�sager l' mM n ci-dessous est vrai et est admis : n 1 1 11  1 s   .   m m i  p i  i1 mM n i1

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Soitf n la fonction d�finie sur la demi-droite ouverte0,par la relation suivante : n 1 1 f n  s   1 s .   p i  i1

SoitNle rang du plus grand nombre premier inf�rieur
n  Nsup  ip i n  . d. D�montrer l'in�galit�suivante : n N 1 1 1  s  1 s .  k  p i  k1i1 Retrouver, en donnant une valeur particulire au r�els, le r�sultat : la suite des entiers premiers est illimit�e. D�terminer, en supposant le r�elsinf�rieur ou �gal
1  0s1  entier, la limite, lorsque l' ntend vers l' infini, de l' expressionf n  s  introduite ci-dessus. Il est admis, puisque la suite des nombres premiers est illimit�e, qu'
tout r�elxsup�rieur ou �gal
2  x2  , peuttre associ�un entierNtel que le r�elxsoit encadr�par les nombres premiersp N etp N1 : p N xp N1 .

e. tablir, lorsque le r�elsest strictement sup�rieur
1  s1  encadrement ci-dessous :, l' n N 1 1 11  s  1 s  .   s k  p i  k k1i1k1 En d�duire, poursexpression1, la limite de l'f n  s  entierintroduite ci-dessus lorsque l'n tend vers l' infini. I-3.S�rie de terme g�n�ral1/p i ,i:1, 2, ... D�duire des r�sultats ci-dessus la nature de la s�rie de terme g�n�ralv i ,id�fini1, 2, ..., par la relation suivante. 1 v i ln 1. p i En d�duire la nature de la s�rie de terme g�n�ral : 1 w i ,i1, 2, .... p i Quelle conclusion qualitative est-il possible d'en tirer sur la r�partition des nombres premiers ? I-4.Fonction: Soitla fonction limite de la suitef n . D�montrer que cette fonction, d�finie d'aprs la question I-2.e sur la demi-droite ouverte1,par la relation ci-dessous,est continûment d�rivable. N 1 1 1 slim  s  s    1. N  p i  k i1k1

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Deuxième partie Le but de cette partie est d'�tablir une majoration du produit des nombres entiers premiers inf�rieurs ou �gaux
un entier donn�nencadrer le plus petit commun multiple de tous leset d' entiers inf�rieurs ou �gaux
cet entiern. Soit toujoursnun entier sup�rieur ou �gal
2  n2  ,Nle rang du plus grand nombre premier inf�rieur ou �gal
n; soitP n le produit des nombres premiers inf�rieurs ou �gaux
n: N p N n p N1 ,P n   p i .  i1

II-1.Majoration duproduitP n des nombres premiers major�s par un entiern: a. Construire un tableau donnant pour les valeurs 2, 3, 4 et 5 de l'entiernles valeurs de n N,p N ,P n , 4 . n b. V�rifier que, si l'entiern1 n' est pas premier, l' in�galit�P n 4 impliquel' in�galit� n1 P n1 4 . c. L'entiern1 est premier dans cet alin�a ; justifier l' existence d' un entiermtel que : 2m1n1. D�montrer que tout nombre premierpcompris entrem2 etn1  m2pn1  m divise le coefficient du binômeC. tablir la majoration suivante : 2m1 m m C4 . 2m1 m1n1 En d�duire que l' in�galit�P m1 4 impliquel' in�galit�P n1 4 . d. En d�duire, pour tout entiernmajoration :2, la N n P n  p i 4 .  i1

Soitd n le plus petit commun multiple de tous les entiers 1,2, 3,...,n. II-2.Une expression du p.p.c.m.d n : D�montrer que le p. p. c. m.d n est �gal au produit des nombres premiersp i , inf�rieurs ou �gaux
l' entiern, �lev�s
des puissances i �gales aux parties entires du rapport lnnsur lnp i ; c' est-
-dire: N  lnn i p N np N1 ,d n  p i , avec: i .  lnp i i1

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II-3.Une minoration du p.p.c.m.d  : 2n1 �tant donn
un entiernsup
rieur ou
gal 2  n2  , soitI n d
finie par lal' int
grale relation suivante : 1 n n I n   x  1x  dx. 0 a. D
montrer la majoration : 1 I n . n 4

 b. D
montrer que le p. p. c. m.d  est divisible par tout entiernkl' entier1, lorsquek 2n1 varie de 0 n  0e le produitd kn  . En d
duire qu 2n .I n est un entier en consid
rant, par 1 n exemple, une expression deI n obtenue par d
veloppement de  1x  .

D
montrer, l'aide de la majoration de l'int
graleI n minoration du p. p. c. m., uned  . 2n1

Troisième partie Le but de cette partie est d'
tudier les deux fonctionsetd
finies ci-dessous pour en d
duire un encadrement l'infini du r
el  x  . Pour tout r
elxsup
rieur ou
gal 2  x2  ,  x  est
gal au nombre des nombres premiers inf
rieurs ou
gaux au r
elx. N  p N xp N1 ,  x  N1. i1 Pour tout r
elxsup
rieur ou
gal 2  x2  ,  x  est
gal la somme des logarithmes des nombres premiers inf
rieurs ou
gaux au r
elx. N xp N1 ,  x   lnp i . p N  i1 Plus g
n
ralement :
tant donn
e une suite r
elleA  a k  , soitH A la fonction d
finie sur k1 la demi-droite ferm
e1,, par la relation suivante : H A  x  est nul sur l'
gal, pourintervalle 1,2 ,x2, la somme des termes de la suiteA dont les rangs sont inf
rieurs ou
gaux au rangNdu plus grand nombre entier premier inf
rieur ou
gal x: 0, si1x2, N H A  x    a k 2, sixetp N xp N1 . k1

III-1.Un r�sultat auxiliaire: r une suiteA  a i  Pr
ciser, pou i donn
e, sur quels intervalles la fonctionH A est continue. 1 Quels sont ses points de discontinuit
? Pr
ciser en ces pointsxla valeur deH A  x  H A  x0  .

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Soitf2,une fonction r�elle, d�finie et continûment d�rivable sur la demi-droite ferm�e, et une suite r�elleA  a i  ; d�montrer la relation suivante : pour tout r�elxcompris entrep N i1 etp N1 ,  p N xp N1  il vient : N x  a i f  p i  H A  x  f  x    H A  t  f´  t  dt.  2 i1

III-2.Une majoration de la fonction: a. D�montrer la majoration suivante de la fonction:   x  xln 4.

b.
tablir en choisissant, dans la relation �tablie la question pr�c�dente, comme suiteA, la suite lnp k ,ket comme fonction1, 2, ...,f, lafonctionx1/ lnxin�galit�suivante :, l' x x dt   x  ln 4  . 2 lnx 2  lnt 

c. D�montrer la convergence vers 0, lorsque le r�elxinfini, de la fonctioncroît vers l'R  x  suivante : x lnx dt R  x  .  . x 2  lnt  2 Indication : introduire, pourx4 , les int�grales de 2 xet dexx.

d. En d�duire l'existence d'un r�elx 0 tel que, pour tout r�elxsup�rieur ou �gal x 0 , la fonctionv�rifie la majoration suivante : x   x  4 ln2 . lnx

III-3.Une minoration de la fonction: En utilisant par exemple la minoration du p. p. c. m.d  obtenue la question II-3, 2n1 d�montrer qu'il existe un r�elx 1 tel que, pour tout r�elxsup�rieur ou �gal x 1 , la fonction v�rifie la minoration suivante : ln 2x   x  . 2 ln x

Ces deux r�sultats sont coh�rents avec le flth�orme des nombres premiersfl�tabli par Hadamard et de La Vall�e Poussin en 1896, qui affirme que la fonctionest �quivalente  l' infinila fonctionxx/ lnx.

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Quatrième partie

Soit, dans toute cette partie, un entierndonn�  n2  . L'anneauZ/nZest l'ensemble quotient de l'anneauZdeux entiers relatifs sont �quivalents si�quivalence : ºpar la relation d' leur diff�rence est divisible par l'entiernº .Classiquement un �l�ment deZ/nZ, uneclasse d' �quivalence,est not�ea,a�tant un repr�sentant de cette classe. Soitla fonction qui,
l'entiern, associe le nombre d'�l�ments inversibles deZ/nZ.

IV-1.Th�orème d'Euler: a. D�montrer que, pour que l'�l�mentadeZ/nZsoit inversible, il faut et il suffit que l'entier asoit premier avecn. Donner les valeurs de  n  entierlorsque l'nprend toute valeur de 2
7.  b. D�montrer que l'ensemble  Z/nZ  des �l�ments deZ/nZinversibles est un groupe multiplicatif. Quel est son cardinal ? Soitaun entier compris entre 0 etn1  0an1  , premier avecn. Soit  n  le nombre d'�l�ments deZ/nZinversibles. D�montrer la relation :   n  a1,  n  .  Indication : consid�rer l' application:bb.ade  Z/nZ  dans lui-mme puis l' expressioncd�finie par la relation suivante : c  b.a.   b  Z/nZ 

311 c. Application : d�terminer le reste de la division de 251par 6. IV-2.Principe de cryptographie: Soitnun entier  n2  �gal au produit de deux nombres premierspetq;np.q. a. D�montrer la relation :   n    p1   q1  .

Soiteun nombre entier premier avec  p1   q1  . b. tablir l'existence d'un entierdtel que : e.d1,  p1   q1  . e.d Exemple simple :n6,e5 ; calculer, pour tout �l�mentadeZ/6Z,a. c. D�montrer pour tout �l�mentadeZ/nZ, la relation : e.d aa,  n  .

En fait l' entiereentierexp�diteur, l'est connu de l'ddu destinataire. L' entierdest trs difficile
calculer si la factorisation de l'entiernn' estpas connue (les entierspetqsont grands). e Chiffrement du messageapar l'exp�diteur :aa; d�chiffrement par le destinataire : e e d a a  . Le message est retrouv�.

FIN DU PROBLÈME

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