Mathématiques II 2004 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2004
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 252
• Langue: Français

Extrait

ESSEC MathématiquesII OPTION ÉCONOMIQUECONCOURS 2004 La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document.L’usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée . Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. Notations Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On noteE n = {1 ; 2 ; ... ;n} =a1 ;nb etΩ l’ensemble des permutations surE n . Pour tout ensemble fini Acard(, on noteA) son cardinal, c’est à dire son nombre d’éléments.  n! si 0  n  k ≤k≤n  k! ( n−k ) ! On note, ouC, le nombre    n k    0 sinon  On rappelle enfin la formule de Poincaré, sous sa forme ensembliste : soitA un ensemble de cardinal fini, et A 1 ; A 2 ; ... ; A n des sous-ensembles de A . Alors  n  n     k−1   card A= ( −1 ) card A∩A∩ ... ∩A      ∪  ∑ ∑  1 2k  i  i ii   i=1  k = 1 1 ≤ i < i < ... < i ≤ n 1 2k Partie I 1°) Rappeler la valeur decard(Ω) . Pour touti,i∈E n  , on poseA i ={ω|ω∈Ω,ω(i) =i} 2°) Montrer que pour tout k ∈ E n pour tout et i 1 ; i 2 ; ... ; i k tels que1≤ i 1 < i 2 < ... < i k ≤ n    k      card  A  = ( n−k ) !  ∩ j  i   j=1       s=car... ∩∩ ∩ ∑ 1 2 En déduire, pour toutk∈E n la valeur de , k d  A i A i A i k      1≤i<i< ... <i≤n 1 2k 3°) On noteD n; 0 ={ω|ω∈Ω,∀i∈E n  ,ω(i)≠i} i    n  n   ( −1 ) a) Montrer qued= card (D n; 0 ) =n!−cardA=n  !     i ∪ 1   i ∑ 0 i  i  =  = !   Pour toutk∈E n  , on appelleD n;k  l’ensemble formé desω∈Ω tels qu’il existei 1 ;i 2 ; ... ;i k   toutj∈1 ;kω  i  =i, et pour toutl tels que 1≤i 1 <i 2 < ... <i k ≤net tel que poura b , on a j j   E n \{i 1 ;i 2 ; ... ;i k }, on aω(l)≠ l.  n    b) Montrer que pouD) =ard dr toutk∈E n  ,d k  = card ( n;k   c  n−k; 0    k    k+1   k+2  n−k  n  = −+ +... +−c) Vérifier que pour toutk∈Ed s   s +   s + ( 1 )   s n kk k1k2n k kk     4°) On posed 0 =s 0 = 0 . a) Écrire la matrice du système d’équations qui donne(d 0 ;d 1 ; ... ;d n ) en fonction de (s 0 ;s 1 ; ... ;s n ). b) En se plaçant dans l’espace vectoriel R n [X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àn , donner l’expression de l’endomorphisme représenté, dans la base canonique, par la transposée de cette matrice.

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c) En déduire que cet endomorphisme est inversible en exprimant son inverse. d) En déduire la relation qui lie (d 0 ;d 1 ; ... ;d n ) à (s 0 ;s 1 ; ... ;s n ). Partie II Afin de lancer un nouveau produit sur le marché, le service marketing d’une entreprise propose au directeur général la campagne suivante : •en vente au prix unitaire de mettre b euros, n exemplaires du produit, • chaque exemplaire sera numéroté de façon apparente d’un nombre compris entre 1 et n , • à l’intérieur du produit, et de façon cachée, se trouve un second numéro, •l’acheteur qui trouvera à l’intérieur de l’exemplaire un numéro identique à celui figurant à l’extérieur gagnera euros. On suppose que les numéros cachés sont tous différents, compris entre 1 etnet choisis « au hasard ». Avant de donner son accord, le directeur général souhaite étudier le coût d’une telle campagne. Afin de formaliser la notion de choix au hasard, et pour toute la suite du problème, on munit (Ω;P(Ω)) card ( A ) de la probabilité uniforme discrèteP définie pour toutA⊆Ω parP(A.) = card ( Ω ) Enfin, on noteX n  la variable aléatoire représentant le nombre de gagnants. 1°) a)En utilisant les résultats de la questionI.3, déterminer la loi deX n  . i i n n−k nn−i 1( −1 ) ( −1 )1 ∑ ∑∑ ∑ b) Établir les égalités suivantes := =1 ! !! ! k=0 k i=0 i i=0 i k=0 k (on justifiera de manière précise l’interversion des deux signes sommes)  1 si ω∈A 2°) Pour tout A⊆W , on note1 A 1variable aléatoire définie par la A ( ω ) =  . Justifier 0 sinon  l’égalité : X n = 1 + 1 + ... + et en déduire l’espérance de la variable aléatoire1 , X n . A AA 1 2n n 2 ∑ i ∑ i j 3°) a) Montrerque :X=1+1. n AA∩A i=1 1≤i≠j≤n b) Endéduire la varianceV(X n la variable aléatoire) deX n  . 4°) a)Montrer que l’entrée aléatoire du capital C n desd’argent dû à l’opération de commercialisation n exemplaires du produit, est donné par :C n =n b−B X n .  En déduire sa valeur moyenneE(C n ) ,ainsi que le risque donné par l’écart type σ (C n ) . b) Quelle sera d’après vous, la réponse du directeur général ? 5°) Montrerque le gain d’un acheteur ayant acquis un seul produit est donné par :G n =B Y n − b . oùY n 1/ est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètren . En déduire le gain moyen de l’acheteur. Partie III 1°) Montrerque la suite des variables alX n en loi vers une loi de Poisson éatoires () n∈ ` *  convergede paramètreλ=1. i −1 + ∞ e1( −1 ) 2°) Montrerque pour toutk∈E n  ,P ( X=k ) − = ∑ n k!k! i=n−k+1 i! + ∞+ ∞ * 1 21 1 ∑ ∑ 3°) Soitm∈ N  . Montrer que :≤ ≤ k i!m!m! i=m k=0 ( m+1 ) k (on remarquera que pour toutk≥1 ,m(m+ 1) ... (m + k−1 )≥m )

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− + n 1n n2 e1 2 ∑ n ∑ 4°) En déduire que : P ( X=k ) − ≤2≤ . ! !− +! +! k=0 k k=0 k ( n k1 ) ( n1 ) 5°) On considère les instructions Pascal suivantes : eps := 0.00001; x := 2; k := 2; While x > eps/2 do  begin  x:= x*(2/k) ;  k:= k+1 ;  end; writeln(k) a) On entre dans la boucle While avec x = 2 . On suppose qu’on est passé j≥ dans cette1 fois boucle. Quelle est la valeur dex à l’entrée de la boucle la fois suivante ? n+1 2 b) Montrer que la suite(u n ) n∈*  définieparu n = estdécroissante, et admet une limite ` ( n+1 ) ! que l’on calculera. c) En déduire que la boucleWhile ci-dessus se termine. d) La valeur affichée par la dernière ligne est11 .Que représente-t-elle ? Partie IV On suppose dans cette partie qu’un acheteur a acquis l , ( l≥1 ), exemplaires du produit. L’ensemble de ces exemplaires est notéL = {j 1 ;j 2 ; ... ;j l } . l On note Y la variable aléatoire égale au nombre d’exemplaires gagnants du produit parmi ces l n exemplaires achetés.  1 si∈A 1°) Onrappelle que pour toutA⊆W, 1 A 1la variable aléatoire définie par est A (ω) =  . 0 sinon  l Justifier l’égalité : Y=1+1+ ... +1 n AA A j jj 1 2l  l  l En déduire l’espéranceE  Y  de la variable aléatoireY. n n   l 2  l    ∑ j ∑ j ∩ j 2°) a)Montrer que :  Y  =1+1 n AA A i ik i=1 1≤i≠k≤l  l  l b) En déduire la varianceV  Y  de la variable aléatoireY. n n   l 3°) a)Montrer que le gain de l’acheteur est égal àG n =B Y n − b l . b) Déterminer son gain moyen, ainsi que l’écart type de ce gain. c) Du point de vue de l’acheteur, est-il intéressant d’acquérir plusieurs exemplaires du produit ?

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