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Mathématiques II 2004 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts

4 pages
Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.
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A 2004 Math PC 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePC (Dure´edel´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Fili`erePC.
Cete´nonce´comporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonce´,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamen´ea`prendre.
p Danstoutleproble`melentiernest strictement positif(n1) ; l’expressionCde´isnglenemoerb n des parties ayantpusdntme´eel´deemelbensnnnotautrets.Aemene´´lnoit:   pn C=. n p
Premi`erepartie
Soit (un() etPneesndieepsoplaynlˆeosmseusid´titnos)siulrseeralntva:es nNnN n n1d n un(x) =x(x1) ;Pn(x) =un(x). n n!dx Int´egraledelafonctionunsur le segmentK= [0,1] : ´ 1.Etantdonne´sunre´elstrictementpositifa(a >0) et un entier naturelk(kNrenort),emd´ lexistencedelint´egraleIa, k:ne´dsed-iceilaetussoerullcca Z 1 a1k Ia, k=x(x1)dx. 0 2.De´duiredur´esultatpr´ece´dentlavaleurdelinte´graledelafonctionun,nete´mentusegduea n K= [0,1],meeocneicbudtoˆninoudcnitneofC: 2n
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Z 1 n n x(x1)dx. 0 PolynˆomesPn: 3.De´terminerledegr´edupolynoˆmePneplushauontermedicnedtsereeloceesice´rptgedt.e´r
4.D´eterminerdedeuxmani`eresdie´renteslepolynˆomePni:olsaspnrexpeelndioativre´drap,ere`imer n n deunitdurobtoueen`rpa´dseleveeppoment;laseconde,pra´drevitaoidnpux(x;l)1tluse´rearesta nk k exprim´eenfonctiondexpressionsdutypex(x1) .
5.End´eduirelarelation:
n X  2 n k C=C . 2n n k=0
Deuxi`emepartie ´ Etantdonn´esdeuxre´elsaetb, strictement positifs (a >0>, b0), soitJ(a, busviarel:naet)t´eglin Z 1a1 t J(a, b) =dt. b 1 +t 0 Inte´graleJ(a, b) : ´ 6.Etudierlexistencedelinte´graleJ(a, b). k 7.De´montrerquelint´egraleJ(a, b(alern´´eegmretedeire´saledommealasale`t´eg)se1)/(a+k b), kN: k X (1) J(a, b) =. a+k b k=0 8.Ende´duirelasommedelase´riesuivante: 1 11 1 S= 1++ +. . . . 4 7 10 13 ´ Etantdonn´eunr´eelastrictement compris entre1 et 1 (1< a <1), soitϕanctiond´eniesurofal l’intervalle ouvertI= ]1,1[ par la relation suivante : 1 ϕa(x) =. 2 (1a x) 1x 9.D´emontrerquelafonctionϕalloevureitnreavtseleabrlsunttigr´eI. SoitK(aoinela)flonicntt´egraledϕaneud`ela´teellntivaerI: Z 1 1 K(a) =dx. 2 1(1a x) 1x 10.D´emontrer,pourtoutre´elatrevuoellavretnil`antnatearppaI= ]1,1[,la relation suivante : Z 1 2k X x 2k K(a) =adx. 2 11x k=0
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11.De´terminer,enadmettantlere´sultatsuivant π K(a) =, 2 1a lede´veloppementens´erieenti`eredelafonctionK:a7K(aansu)dice´resnigirP.edegeorloinvnasi le rayon de convergence. 12. Exprimer,pour tout entiernarel´tgelinurdevalef,laitisoptnemetcirtsLnci-dessous en fonction n ducoecientdubinˆomeC: 2n Z 1 2n x Ln=dx. 2 11x Troisie`mepartie
Soitfalfonctiond´eniesalruimedord-oetieruv]te−∞,1[ par la relation suivante : 1 f(t) =. 1t Soitgleouverted´ontincfolalavretnilruseinI= ]1,1[ par la relation suivante : arcsin (x) g(x) =. 2 1x
D´eveloppementense´rieenti`eredelafonctionfdans un voisinage de0 : 13.D´eterminerlede´veloppementense´rieentie`redelafonctionfdans un voisinage de l’origine 0. Pre´ciserlerayondeconvergencedelas´erieentie`re.D´eterminerdescoecientsαn, nNued,efa¸conq ced´eveloppementse´crivesouslaformesuivante: X 1 n n f(t) == 1 +. αnC2nt 1t n=1 D´eveloppementense´rieentie`redelafonctiongdans un voisinage de0 : ´ 14. Etablirque la fonctiongenereltilileean´derierpureimrdroe.v´erienu´eqeauitnoid´15.End´eduirelede´veloppementens´erieentie`redelafonctiongleecr´erisdegaP.0esonvandunisi rayon de convergenceRnti`ereoas´erieedle.eunetb ´ 16.Etablir,lorsquelere´elxvertleourvalintea`leitnaptrpae´saeeir`itnerecodeernvncgeeled, l’expression ci-dessous deg(x) : 2n1 X 2 2n1 g(x) =x . n n C 2n n=1 17.De´duiredesr´esultatspr´ece´dentslasommeΣdelase´riesuivante: 2 12.24 1.4.6 1 Σ = 1 +.+.+.+. . . . 2 3 3 23.5 23.5.7 2 Soithtcoidne´lfanointervaniesurltoellrevuI= ]1,1[ par la relation suivante : 2 x xarcsin (x) h(x) =+. 2 3/2 2 1x (1x)
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