Mathématiques II 2005 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2005
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 305
• Langue: Français

Extrait

ESSEC 2005, math II, option scientifique

Dansceprobl`eme,lesvariablesal´eatoiressontr´eellesettoutesd´efiniessurunespaceprobabilise´ (Ω,A, P). (X n ) n>1 errpnesuited´esenteulasetae´ravelbaiurpouttoreoit,sen>1, on note n X S n =X i . SiXeriotae´laelbairnevaestue,lleer´E(X.eensedi´gne)so´espncra i=1 Pre´liminaires 1)Soit (X n etedavirbaelas´l)unesuilemeˆmedtemda,ioesirtoeaeslleer´euneetantrancsp´em. ´ Enoncer,avecpre´cision,laloifaibledesgrandsnombrespourlasuite(X n ). 2)Soitδunretifitosptnemetcirtslee´Aun sous-ensemble deRtel que l’intervalle ]m−δ, m+δ[ soitinclusdanslecomple´mentairedeArenirmte´e.D   S n limP∈A n n→+∞ L’objetduprobl`emeestdepre´ciserdemanie`requantitativelesre´sultatsci-dessus. Partie I :Un premier exemple. Le cas gaussien Dans cette partie, (X n ) n>1 teouttannesuriotniseaselae´lesntivsuepd´daenetsdevariabunesuite loinormalecentre´ere´duite,N(0,1). S n 1)Quelle est la loi de? n 2)Soitδe.llietnenopxenoitcnoftreio,nntoeepxalitif.Danscettepatsletcirnemesoptu´enr a)Montrer que r   Z   +∞ 2   S n S n 2n nt P>δ= 2P>δ= exp−dt   n nπ2 δ b)En posantu=n(t−δ), montrer que r   Z 2 +∞ 2    S n 2nδ u P>δ=×exp−exp− −uδdu  n nπ2 2n 0 3)a)Montrer que pour toutx>00, on a61−exp(−x)6x. Z +∞ b)Mop(exlera´tge’lniqreutner−uδ) duconverge et la calculer. 0 c)inerDe´etmr Z Z  +∞+∞ 2    u lim exp(−uδ) du−exp− −uδdu n→+∞ 2n 0 0   S n d)e´udEdnolsrri,equene´nu,infinelaviuqtendetdl’inversP>δ.  n PartieII:Quelquesre´sultatsg´en´eraux ` Al’instardesvariablesale´atoiresdiscre`tes,onadmettraquesiX,Ysont deux variables ale´atoires`adensit´e,inde´pendantes,admettantuneespe´rance,alorsXYadmete´pseenuecnar etE(XY) =E(X)E(Y). sX SoitXoire´eatlle(r´eeenavuellairbaadeneou`r`etdiscuotuotr)eP.is´ts∈Radmettelle que e sX uneespe´ranceEon pose(e ), sX ϕ(s) =E(e ) Soit (X n ) n>1 deterivaunuiesotaeserielba´laseuqiolempeneni´dseusadtnttouivanamˆeteslX. S   n n s 1)Montrer que pour toutn>1, pour touts∈Rtel queϕ(s) existe, on aE(e )=ϕ(s/n) . n sY 2)SoitYteellee´rreoiat´ealulevaabnreis >0 tel queE(e )existe.

s(Y−a) a)Montrer que pour touta,1el´er (Y>a) 6u1eo`, (Y>a) ricednindicatnofaoitcise´leng de l’ensemble{ω∈Ω/Y(ω)>a}. −as sY b)irdu´endEeuqeP(Y>a)6eE(e ).     S n n −as c)Montrer queP>a6eϕ(s/n) . n sY 3)SoitYotriree´leelteevuniaareableal´s <0 tel queE(e )existe. s(Y−a) a)Montrer que pour touta,1el´er (Y6a) 6e .   S n   n −as sY −as b)eduiEnd´erequP(Y6a)6eEpuis que(e ),P6a6eϕ(s/n) . n Partie III :Un second exemple. Le cas binomial Dans cette partie, (X n ) n>1 iravelbaiuseedeteunstusetuottendantepenivanessuaeotas´lni´drise loi de BernoulliB(p), avec 0< p <1. On rappelle queP(X 1 = 1) =p, P(X 1 = 0) = 1−p=q. 1)Calculerϕ:s7→ϕ(so)ne.ndsoerinrmte´etditinfie´dedeniamo Soitaeelfiunr´]e0´xde,1[. 2)On suppose dans cette question quea > p. ´ a)Etudier surR + les variations de la fonction` a arpeinfie´d ` a :s7−→as−lnϕ(s) b)Montrer que la fonction` a atteint surR + un maximum strictement positifh(a, p) qu’on exprimera en fonction deaetp. c)Montrer que     −nsup(at−lnϕ(t)) S n −nh(a,p) t>0 P>a6ee = n 3)On suppose dans cette question quea < p, (donc 1−a >1−p). a)´Dnemieretdeoialrlleal´eatlavariabioern−S n . b)Montrer que   S n nh (1−a,1−p)−nh(a,p) − P6a6ee = n 4)Soitε >esntde´eecr´sponeuq0.Dseitseuqridee´ud     S n −nminh(p+ε,p),h(p−ε,p) P−p>ε62e  n 5)Soitα]0urne´leed,1[. Montrer que, pournassez grand, il est toujours possible de trouver deuxr´eelsa 1 , a 2 tels que 0< a 1 < p < a 2 <tnefiiselviuqire´´es1n´egalit    S n α   P6a 1 6 n2   α  S n  P>a 2 6 n2 (onpourrae´tudierlesvariationsdelafonctiona7→h(a, p)). 6)rtpeenneoshuiresacquaiterune´eriqenihcamqirbafiurtceunueedypntaio’jUbteesqtiu, en fonctionnement normal, produit une proportionp, (0< p <efectsd´obje),d’.xeLut1ue directeur veut connaˆıtre la valeur deptelamachelailteslee`evnunieept´ronllch´etiancruoP. den, (n>1), objets qu’il analyse. Pour touti∈[1, n]], soitX i fie´dpeinraedeBtoirulliernoraailva´laelbae n 1 silei`e-iobmetpjectueux´rlevee´sedte´ef X i = 0 sinon Onsupposequedanslesconditionsdepre´l`evement,lesvariablesale´atoiresX 1 , . . . , X n sont inde´pendantes. 2

S n a)Montrer queF n un estimateur sans biais de= estp. n   2 b)Calculer le risque quadratiquer n =E(F n −pmierminerl).D´etr n . n→+∞ 7)retninuncedellavedncfiaon`eamaruprteOsnuoeuqeoitssnadttecrmteerinitha´eedp inconnu, au niveau de confiance 1−αa`,trapedrie´’lanchllti(onX 1 , . . . , X n ).  √  F n −p a)Quelle est la limite en loi de la suiten p ∗ ? n∈N p(1−p) α b)Soitf n atioalisar´eldneF n idnsr´´ellticoonoS.etihcna’le´srut α Φ(´efinipar´reldleet α ) = 1−, 2 ou`Φde´signelafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´e,re´duite. D´eterminerenfonctionden,f n ,t α un intervalle de confiance [U n , V n ] depau niveau 1−α. PartieIV:Lecasge´n´eral SoitX´rerlleededeisnerivaleab´ealoiatuent´ef. Z +∞ tu Pourtoutr´eelttel queef(u) duconverge, on note −∞ Z +∞ tX tu L X :t→−7E(e )= ef(u) du −∞ On supposera queL X nfisirunusedte´le]intervalα, β[ contenant 0. 1)Soitt∈]α, β[, etδ >0 tel que [t−δ, t+δ]⊂]α, β[. a)Montrer que pour toutueer´l +∞ X n n δ|u| δu   e−1−δu6 n! n=2 b)Montrer que, pour toutulee´r   tu δu(t−δ)u(t+δ)u   e e−1−δu f(u)6ee +f(u) Z +∞ tu c)Eniuer´ddeil’atenueq´lreguef(u) duconverge, puis queXencra´espeenutemdam. −∞ 2)Soitt∈]α, β[, etδ >0 tel que [t−δ, t+δ]⊂]α, β[. Soith∈Rtel que|h|< δ. a)Montrer que, pour toutule,r´e +∞ n X (t+h)u tun−2 e−eδ|u| tu tu −uef(u)6|h|ef(u)  h n! n=2 puis que (t+h)u tu e−e 2δtu tu|u| δ−uef(u)6|h|e ef(u)   h b)Montrer queL X eenleabiverd´sttet que Z +∞ 0tu L(t) =uef(u) du X −∞ 2 Onadmettra(etonde´montreraitdemani`ereanalogue)quelafonctionL X est de classeC sur ]α, β[ et que pour toutt∈]α, β[ Z +∞ 002tu L(t) =uef(u) du X −∞ 3)On noteψ(t) = lnL X (t). a)nnoDelreamoddenied´efinitiondelafnotcoinψ. 0 00 b)Calculerψ,ψecondeded´,iversee´merpre`isteeψ. 3