MATHÉMATIQUES II Filière MP

Laurent

Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES II Filière MP Concours Centrale-Supélec 1999 Les quatre parties du problème proposé sont consacrées à la description géomé- trique, dans des situations variées, de l'ensemble des produits des éléments de deux parties d'une algèbre sur . Notation : Lorsque et sont des parties d'une -algèbre , désigne l'ensemble des produits d'un élément de et d'un élément de , soit : où désigne le produit de par pour la multiplication d'anneau de . Rappelons une définition : si et , on dit que est étoilé par rapport à si pour tout , le segment est inclus dans . Si est étoilé par rapport à l'un des ses points, on dit que est étoilé. Partie I - Dans cette partie, la -algèbre est identifiée à un plan d'origine . Soit l'ensemble des complexes de la forme , celui des com- plexes de la forme , où , décrivent et l'intervalle . I.A - Soit . Quelle est l'intersection de avec une demi-droite d'ori- gine du plan ? Caractériser soigneusement et le représenter graphique- ment. I.B - Comment se déduit-il de ? est-il convexe ? étoilé ? Partie II - Dans cette partie la -algèbre est : Ici , , est la partie de constituée des matrices symétriques définies positives, soit et désigne l'ensemble des matrices de qui sont diagonalisables dans .

• ir mn


• dd ¢


• matrice symétrique de trace nulle


• ori- gine du plan


• sn ir

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Extrait

MATHÉMATIQUES II

Concours Centrale-Supélec 2002

1/6

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-

phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Dans tout le problème,

• les espaces vectoriels

et

sont munis de leur produit scalaire

canonique et orientés par leur base canonique,

• on désigne par

ou

le produit scalaire de deux vecteurs

d’un espace vectoriel euclidien, par

la norme associée,

• on désigne par

le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel

euclidien orienté de dimension 3.

Les vecteurs dans les espaces vectoriels

sont notés en colonnes, mais on leur

préférera la notation

, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande

taille.

Partie I - Étude dans

euclidien orienté de dimension 3

On considère dans cette partie

espace vectoriel euclidien orienté de

dimension 3 et la base canonique

orthonormale directe. Si

est dans

on définit

, endomorphisme de

, par sa restriction à

:

I.A -

Dans cette question on considère les endomorphismes

, de

matrices respectives

et

dans la base

:

Déterminer

et

, matrices respectives dans la base

de

et

.

IR

3

IR

4

,

IR

6

x

y

,

〈

〉

x

y

⋅

x

y

,

.

∧

IR

n

…

(

)

t

E

E

IR

3

=

B

e

1

e

2

,

e

3

(

,

)

=

u

L

E

(

)

u

~

E

B

u

~

e

1

(

)

u

e

2

(

)

u

e

3

(

)

∧

=

u

e

2

(

)

~

u

e

3

(

)

u

e

1

(

)

∧

=

u

~

e

3

(

)

u

e

1

(

)

u

e

2

(

)

∧

=



















u

1

u

2

,

L

E

(

)

∈

U

1

U

2

B

U

1

0

0

1

–

1

0

3

–

0

1

3

–





















=

U

2

0

1

1

0

1

1

–

0

1

1





















=

U

~

1

U

~

2

B

u

~

1

u

~

2