Mathématiques III 1999 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

Description

Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques III 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1999

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

E.S.C.Paris 1999 Option Economique MATHEMATIQUES III EXERCICE I SoitM 2 (Relstiotevtcroeiense)l’desmmbleeccstaireedsra´r2mrerd’oasesidunerutcurtecapse’d Jla matrice   0 1 J= 1 0 Onconside`rel’applicationSdeM 2 (Rmeqe-iˆmsnul)adout´e`atsociuiastneme´leMdeM 2 (R) l’´ele´mentS(M) =J M J. 1. a)Montrer que l’applicationSlcepaesl’ieorctveantumorohpsiemedainsid´efinieestu M 2 (R).Q’ltseleuqoeuicrpedmorpautoer´ehismS? b)Montrer que siMetNeml´tsendent´euxoseudseuqleocqnM 2 (R), on aS(M N) = S(M)S(N) 2.sntme´eels´leree`disnocnO      1 00 11 00 1 I=J=K=L= 0 11 00−1−1 0 Montrer que (I, J, K, L) forme une base de l’espace vectorielM 2 (R). 3.Montrer queI, J, K, Lsont des vecteurs propres deSD´.eretnemimalrirtaerece´rpnatestn l’automorphismeSdans la base (I, J, K, L). 4.SoitFslee´emtns´delembseenl’MdeM 2 (Rnt)v´erifiaS(M) =Met soitGl’ensemble des ´ele´mentsMdeM 2 (R(R)tnfiari´e)VS(M) =−Mque. MontrerFetGsont des sous-espaces vectoriels deM 2 (Ruotele´teme´tn)quetMdeM 2 (Rrideu’enamine`er)peuts’´ecrenu’dte seule sous la formeM=M + +M − avecM + ∈ FetM − ∈ G.   3−1 Atitred’exemple,d´eterminerlesmatricesA + etA − lorsqueA= . 1−2 5. a)mealterpircoedsuointtdreedrequxuna`taMpaaptrneFssauai`rtpantiepaF. Que peut-ondireduproduitdedeux´el´ementsdeG? b)lPt,enems´ci´eprussecirtamxuedruopMetNdeM 2 (R), exprimer (M N) + et (M N) − en fonction deM + ,M − ,N + etN − . EXERCICE II Pour tout entierks,2a`lagtiop´ersuou´eieurf k falndiocton0suri]efin´e,+∞[ par : k ln (x) f k (x) =six >0 etx6et= 1f k (1) = 0 x−1 1.Etude des fonctionsf k . a)Soitk´uorueire´pusreintneu`a2.egal Justifierlade´rivabilite´delafonctionf k sur ]0,1[∪]1,+∞delatp[e´rcesirealavelru 0 d´eriv´eef(x), pour toutxntnatearppa]0`a,1[∪]1,+∞[. k 0 en 1 et donner, selon les valeurs dek, la valeur def Montrer quef k std´eableeriv k (1) ESCP 1999 Eco IIIPage 1/ 4

b)lesfonctionsauxiiliaersocnOdisnere`ϕ k tuotruop,sde´nfieix >0, par

ϕ k (x) =k(x−1)−xln(x). Etudier, pour tout entierknoalofcnitsup´age´2a`leireuoruioatdenses,lrivaϕ k . Montrer quel’´equationϕ k (x) = 0 admet une racine unique dans l’intervalle ]1,+∞[. Dansla suite, on noteraa k cette racine. c)En distinguant les cask= 2,kuorueire´pusriape´ag`l4a,ksup´erieurou´ega3a`l,miapri donner le tableau de variation de la fonctionf k cisepr´eslimrale(nobxuaseti.)senro 2.Etude asymptotique de la suite (a k ) . k≥2 k−1k a)Montrer que, pour tout entierks2,`aor´ugelapue´iruee≤a k ≤e k b)Pour tout entierkegalrou´rieuup´esesnoopa`,2a k =e(1 +δ k oM.)ertneuqrr´leleeδ k v´erifiel’e´quation −k −ke= (1 +δ k ) ln (1 +δ k ) 1−k Justifierl’ine´galit´e:|ln (1 +δ k )| ≤ke.nEiuer´ddeasuiquelte(δ k une limite) a k≥2 −k nulleet,pluspr´ecise´ment,queδ k eqt´esa`tnelaviu−kequandktend vers l’infini. c)Justifier, en conclusion, la relation k a k =e−k+o(k) quandk→+∞ 3.apprlculedesoch´serbmonaCa k . −4 EcrireunprogrammeenTurbo-Pascaldonnantunevaleurapproche´e`amoinsde10pr`esdu nombrea 4 . EXERCICE III Unechaıˆnedefabricationproduitdesobjetsdontcertainspeuventeˆtred´efectueux.Pourmode´liser ceprocessusonconside`reunesuite(X n nruoedeBdne´lliiantepends,de)iravedl´saleabesirtoea n≥1 i`eme parame`trep,(0< p <ioer.)1vaLaabrialleat´eX n prend la valeur 1 si lenobjet produit est de´fectueuxetprendlavaleur0s’ilestdebonnequalit´e. Pourcontroˆlerlaqualit´edesobjetsproduits,oneffectuedespr´el`evementsal´eatoiresetonconside`re 0 0 une suite (Y n darev)tae´eriolbailaseetr`eamind´ulliernosdeBperased,adtnpenep, (0< p<1), n≥1 ie`me telle queY n prend la valeur 1 si len0s’ilnel’estpas.ettsoctnˆrloe´tebjopretuiod Touteslesvariablesal´eatoiresX n etY n mˆemurunacepeespnodtseisse´nfiu’dieneΩs´un,mbarolibi probabilit´enot´eeptsuoetispuop´seeetsonts.selleerntseteanndpe´end Laprobabilit´econditionnelled’une´ve´nementAashc´nvenautment´eneBeenot´estP B (A) Pour tout entiern≥1, on poseZ n =X n Y n L.varaailbeal´eatoireZ n ´disinfieuavenodtsic1leain i`eme nd´effois`alatestrtoˆctnoueexceutn.nosit0eel´jeob L’objetdel’exerciceestd’´etudierlenombred’objetsd´efectueuxproduitsparlachaıˆneavantqu’un objetde´fectueuxn’ait´ete´de´tecte´. 1.er,prminouteourteitnre´etDn≥valaabrialleat´eioer1lal,edioZ n et la covariance des variablesX n etZ n selbairavseleuqeirdu´end.EX n etZ n .snaetepdndne´pasisontne Parcontre,ilr´esultedeshypoth`eses(etonnedemandepasdelejustifier)que,pourtoutentier niotaerableal´e,lavariZ n itsee´dnlbsesvdeiaarndpetean(X i , i6=n)et des variables(Y i , i6=n), demeˆmequedesvariables(Z i , i6=n).

ESCP 1999 Eco III

Page 2/ 4