Mathématiques III 2000 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2000 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 122
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Exercice 1 1. Montrerque, pour tout nombre réelx >0et tout entier naturelk;lintégrale 1 Z kxt t e dt 5 1 +t 1 est convergente. Pour quelles valeurs de lentierkcette intégralle est-elle aussi convergente pourx= 0? 1 xt R e 2. Onse propose détudier la fonctionFdénie, pourx>0;parF(x) =dt: 5 1 +t 1 Montrer queFest une fonction strictement positive, décroissante et que limF(x) = 0 x!+1

3. (a)Montrer que, pour tout réelt>0;tout réelx>0et tout réelh>0;on a :

2 2 t h t(x+h)txtxtx  ee+t he  6e 2

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(b) Montrerde même que, pour tout réelt>0;tout réelx>0et tout réelh60;on a : 2 2 t h t(x+h)txtxt(x+h)  ee+t he  6e 2 (c) Endéduire que pour tout réelx>0et tout réelhtel quex+h>0;on a : 1 1 Z Z xt2 2 te ht F(x+h)F(x) +h dt6dt 5 5 1 +t+2 1t  1 1 (d) Montrerenn que la fonctionFest dérivable sur[0;+1[et donner une expression de sa fonction dérivée 0 F : 1 2xt R t e 0 4. Montrerde même queFest dérivable sur[0;+1[et queF"(x) =dt 5 1 +t 1 5. Onse propose de montrer que la fonctionln(F)est convexe. 2 (a) Montrerque sia,betcsont trois nombres réels tels que, pour tout réel;on ait linégalité :a+ 2 2b+c>0;alors, nécessairement,acb>0: (b) Endéduire que la fonctionln(F)est une fonction convexe.

Exercice II On dispose de deux jetonsAetBque lon peut placer dans deux casesC 0 etC 1 ;et dun dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable, lune des lettrea,boucdébut de lexpérience, les deux jetons. Au sont placés dansC 0 :On procède alors à une série de tirages indépendants de lune des trois lettresa,bouc. A la suite de chaque tirage, on e¤ectue lopération suivante : si la lettreaest tirée, on change le jetonAde case,

si la lettrebest tirée, on change le jetonBde case,

si la lettrecest tirée, on ne change pas le placement des jetons.

On suppose quil existe un espaceprobabilisé dont la probabilité est notéep, qui modélise cette expérience et que lon dénit deux suites de variables aléatoires sur cet espace,(X n )et(Y n ), décrivant les positions n>0n>0 respactives deAetB, en posant :X 0 =Y 0 = 0, et pour tout entier naturel n non nul,X n = 0si à lissue de la ieme nopération, le jetonAse trouve dansC 0 etX n = 1sil setrouve dansC 1 ; de même,Y n = 0si à lissue de la ieme nopération, le jetonBse trouve dansCetY= 1sil setrouve dansC : 0n1

I Simulation Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de simuler lexpérience, qui lira un entierNentré au clavier, représentant le nombre de tirages à e¤ectuer, et qui a¢ chera à lécran la liste des couples observés(X n ; Y n )pour 1nN: Ce programme utilisera la fonctionRANDOMqui renvoie, pour un argumentmde typeINTEGER, un nombre entier de lintervalle[0; m1], tiré au hasard et de manière équiprobable. (Cette fonction doit être initialisé par la commandeRANDOMIZE)

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II Simulation ieme 1. (a)Soit n un entier strictement positif.Déterminer la probabilité que, à lissue de lanopération, le jetonAnait jamais quittéC 0 : (b) Quelleest la proabilité que le jetonAreste indéniment dansC 0 ? ieme 2. Pourtout entier naturelksupérieur ou égal à 2, on sinterresse à lévénementD k :à lissue de lak opération, le jetonArevient pour la première fois dansC 0 :Déterminer la probabilitép(D k ). 3. SoitM la matrice   2 1 M= 1 2 (a) Déterminerles valeurs propres deMet donner une base de vacteurs propres. n; (b) Endéduire lexpression deMpour tout entiernstrictement positif.

4. (a)Calculer les probabilitésp(X 1 = 0)etp(X 1 = 1): (b) Déterminerune matriceQtelle que, pour tout entier natureln;on ait légalité matricielle :    p(X n+1 = 0)p(X n = 0) =Q p(X n+1 = 1)p(X n = 1) n (c) Pourtout entier naturelnnon nul, calculer la matriceQet en déduire la loi de la variableX n :

III Etude dun mouvement du couple de jetons(A; B) On suppose que lon dénit sur le même espace probabilisé une suite de variables aléatoires(W n ), à valeurs n>0 dansf0;1;2;3g, décrivant les positions des dexu jetonsAetB;en posant : W 0 = 0;et pour tout entier naturelnnon nul, ieme W n = 0;si à lissue de lanopération,AetBse trouvent tous les deux dansC 0 ; ieme W n = 1;si à lissue de lanopération,Ase trouve dansC 0 ;etBdansC 1 ; ieme W n = 2;si à lissue de lanopération,Ase trouve dansC 1 ;etBdansC 0 ; ieme W n = 3;si à lissue de lanopération, les deux jetonsAetBse trouvent dansC 1 : 1. Calculerla probabilitép(W 1 =i)pouriégal à 0, 1, 2 et 3. 2. Déterminerla matriceRtelle que, pour tout entier natureln;on ait légalité matricielle : 0 10 1 p(W n+1 = 0)p(W n = 0) p(W n+1 = 1)p(W n = 1) B CB C =R @ A@ A p(W n+1 = 2)p(W n = 2) p(W n+1 = 3)p(W n = 3) 3. Onconsidère les matrices : 0 10 10 1 1 0 0 01 1 1 10 0 0 1 0 1 0 01 1 1 10 0 1 0 B CBCB C I=; U=; V= @ A@ A@ A 0 0 1 01 1 1 10 1 0 0 0 0 0 01 1 1 11 0 0 0 n n (a) Pourtout entier naturelnnon nul, calculerUetV : (b) Etablir,pour tout entier naturel non nuln;légalité n X n k k nk k (UV() =1)VC U n k=0 0 0 où par convention on pose :U=V=I:

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(c) Endéduire, pour tout entier naturel non nuln;légalité

1 n nn n n (UV) =[3(1) ]U+ (1)V 4

n 4. Pourtout entier naturelnnon nul, calculerR etdonner la loi de la variableW n :(on distinguera les casn pair etnimpair)

5. Déterminer, pour tout entier naturelnnon nul, la covariance deX n etY n et calculer la limite de cette covariance quandntend vers +1:

VI Etude dun long séjour. ieme On suppose que chaque tirage, avec lopération qui le suit, dure une minute.Ainsi, à lissue de lanopération, nminutes se sont écoulées depuis le début de lexpérience. Soitnun entier naturel non nul. On suppose que le nombre de minutes écoulées pendant lesquelles le jetonAa séjourné dansC 1 , entre le début ieme de lexpérience et lissue de lanopération, est une variable aléatoire que lon noteT n :

1. ExprimerT n à laide des variablesX k , pourkcompris entre 1 etn: 2. Endédure lespéranceE(T n ). 1 Calculer la limite deE(T n )quandntend vers linni. n

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