Mathématiques III 2003 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques III 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2003
• ESSEC IRENE

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 584
• Langue: Français

Extrait

ESSEC option Eco 2003 Maths III Exercice1Suitesr´ecurrentesetalg`ebreline´aire N Soitateuner´ronbmnOonee.lRrue´nfieissenl’delembsersetiussdsellee´N, etFle sous- ensemble N deRssedetiuofs(e´mru n :efitnivquri´e)∀n∈Nu n+3 = 3a u n+1 + (1−3a)u n . n∈N L’objetdeceproble`meestl’e´tudedel’ensembleF. ´ I. Etude du cas particuliera= 1. Soit (u n emretsrestresrspamirespoialustidee´nfiei)u 0 , u 1 , u 2 ruer´rcecnelare,etondelati n∈N ∀n∈Nu n+3 = 3u n+1 −2u n .    u n 00 1    Pour tout entier natureln, on pose :X n = u n+1 et on noteM 010 eer´arcecirtamal u n+2 −2 3 0 1. Reconnaˆıtre,pour tout entier natureln, le produitM X n . Ende´duirel’expressiondeX n en fonction des matricesM,X 0 et de l’entier natureln. 2.a)Dte´einrmleerlavssrueporpdserectairlemaM.e´icossaerltueeproppaces-esrsou b) LamatriceMest-elle diagonalisable ? 3 3. Onnotefl’endomorphisme deRacinonocsse`ai´emqutaenMeuqletst’e,credia--`Msoit la 3 matrice defdans la base canoniqueBdeR. 0 00 00 aesabD´)eretnemineruB= (e ,e ,e) telle que la matriceTdefdansBefiirev´T=   1 2 3 −2 0 0   0 0 0 0 11 ,et que les vecteurse ,e ,ectivespeentraicorem-erpre`imnemeuopt 1 2 3 0 01 posante 1, 1 et 0. n butentiernra,tpuoruerltotereimen)´Dn, l’expression deT 4. SoitPla matrice de passage de la baseB`balaaseBExprimer’ .Men fonction deT,Pet −1n P, puisMirecesdtlee’tneirnaturelncfoentamsemeˆmsednoitn. −1 5.a) CalculerP(les calculs devront figurer sur la copie) n b) Pourtout entier naturelnneigdei`emelerlac,selrelucenciefficoprladetsMeridne;ude´ l’expression deu n en fonction deu 0 , u 1 , u 2 et de l’entier natureln. ´ II.Etudeducasge´n´eral. Onrevientaucasge´ne´ralou`auelqonlce.quenutsee´r 1.Structure de F . N amontrerqueD)e´Fest un sous-espace vectoriel deR 3 bionnscoOn)er’ldie`citapalpϕ:F→R. (u n )→(u 0 , u 1 , u 2 ) n De´montrerqueϕacsp’eedsmhirpmodne;sleirotcevseue´eduireqinosseutFest de dimensionfinieetpre´cisersadimension. essec˙2003˙E˙3 Page1/ 5

c) Justifier que des suites (u n () ,v n ),(w n ) deFforment une base deFsi, et n∈Nn∈Nn∈N   u 0 v 0 w 0   seulement si, la matrice u 1 v 1 w 1 est inversible. u 2 v 2 w 2 d) Onsuppose dans cette question:a= 0 . 0 00 On notes, s, slap:rniesd´efiitesessu

−10 −100 −1 s=ϕ((1,0,0)), s=ϕ((0,1,0)), s=ϕ((0,0,1)) 0 00 De´terminers, s, s(on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); end´eduirelaformege´ne´raled’une´le´mentdeF. eesquontindrelareetnesnade´rpde´cleepc)aRsa= 1/3 2.SuitF.deteiruqsese´goe´m n aertronemD´)(etiusaleuqr) appartienta`Fe´rseileisl,emtnueele,strest racine de n∈N 3 la fonction polynomialep:x→x−3a x+ 3a−1 0 (avec la convention :0 =1) bdnrutcoiD)e´leinrmte´eonnf,eera, le nombre de racines de la fonctionpainsi que leur valeur. 3.cnitsidsenicarsirottmeadupo`asCtes. aioctnuqlefanouq,eolsremontrer)D´padmet trois racines distinctes 1,r 1 etr 2 , les suites n n (1) ,(r 1 ) et(r 2 une base de l’espace vectoriel) formentF n∈Nn∈Nn∈N bDanslecaso`u)a= 7, exprimer, en fonction de l’entier natureln´eegrmtele,lare´nu n de lasuite,appartenant`aFfii:e´vreq,iuu 0 = 1, u 1 = 10, u 2 =−8 4.e.Cainedoublnutecareu`osmdap n a) Soitr(ree´leteunnmorbu n l)edetiusa´eegrmtealern´nrmeno.´Duq,ertretoutpour n∈N ndeN: n0 u n+3 −3a u n+1 −(1−3a)u n =r(n p(r) +r p(r)) b)nE´ddeiueruqe,lorsquepadmet une racine doubler 0 et une racine simpler 1 la suite n nn n (n r 0 ) appartienta`Fe´ome,dtqreutneruitelesss(r 0 () ,n r 0 ) et(r 1 ) n∈Nn∈Nn∈Nn∈N forment une base deF. c)Danslecsa`oua= 1/g´me´eenrlmeeret4e,pxirlaru n (nqueelcontqule´neme´u’du n ) n∈N deFen fonction deu 0 , u 1 etu 2 et de l’entier naturelne(ed;e´rpesiclalrtimiu n ) . n∈N Exercice2:probabilite´setsimulationinformatique. I. Exemple introductif. Oneffectuedeslancerssuccessifs(inde´pendants)d’unde´cubiquee´quilibr´e,dontlesfacessont num´erote´esde1a`6,etonnoteX 1 , X 2 , . . . X n , . . .en´aolrtnoedmnuner´isemaaenoetsal´ablevari,les parled´eauxpremierlancer,deuxie`melancer,.... Pour tout entier naturelnnon nul, on noteY n , la somme des points obtenus auxnpremiers lancers. Enfin, pour tout entier naturelkrelal,nuonniotae´laelbairavT k compte le nombre de celles des variablesal´eatoiresY 1 , Y 2 , . . . , Y n , . . .nfrieualreeuri´enerpiuqvenutnenageluoe´a`k. Parexemple,silescinqpremiersnum´erosamen´esparlede´sont,dansl’ordre:3,1,2,3,6,alorsles ´eve´nementssuivantssontre´alis´es:(Y 1 = 3),(Y 2 = 4),(Y 3 = 6),(Y 4 = 9),(Y 5 = 15), et les variables ale´atoiresT 2 ,T 3 ,T 9 etT 12 prennent respectivement pour valeurs 0, 1, 4 et 4 .

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1.Ons’int´eresseireeatoaln`aravblial´easnadtteceuqeoitsT 12 .

a) Donnerles valeurs prises parT 12 (Onexpliciteraunexempleder´esultatcorrespondanta`chacunedesdeuxvaleursextrˆemes). Quelleestlaprobabilit´equeT 12 prenne la valeur 12 ? binformatique) Simulation Comple´terleslignesmarqu´eesparlessymboles...duprogrammePascalci-dessous,de fac¸onqu’ilsimulel’exp´erienceale´atoiree´tudi´eeetaffichelavaleurdeT 12 . On rappelle querandom(6)ournitun.f2e,´3t,a4i,o5e,ranpemirt0rie1l,a Program ESSEC2003A; var x,y,t:integer; begin randomize; y:=0;t:=0; repeat x:=random(6)+1; y:=...; t:=...; until ...; writeln(T=’,t); end.

2.ravalbai´laeotaettceueeqiostaln`’sni´treseesadsnireOnT 2

aeedt´lioldirealabibpeor)Drmin´eteT 2 . bo-tneitbcffia’la`n’oQu)ssuo?suce´tnategahxeneecmmdei-prleraog program Essec2003B; var i,d1,d2:integer; loi:array[0..2] of integer; begin for i:=0 to 2 do loi[il:=0; for d1:=1 to 6 do for d2:=1 to 6 do if d1 > 2 then loi[0]:=loi[0]+1 else if d1+d2 > 2 then loi[1]:=Ioi[1]+1 else loi[2]:=Ioi[2]+1; for i:=0 to 2 do write(loi[i]/36); end.

Dor´enavant,onconsid`ereunesuite(X i meespacesurunmˆe´dfieinsetaioer,s´ealesbliaarevd) i≥1 probabilise´(Ω;T;Pleelntme),tumuemolmeeˆavel,ia`epenind´es,ddant.sellitosspurnuouesiv Pour tout entier naturelnnon nul, on pose alors :Y n =X 1 +X 2 +∙ ∙ ∙+X n et on noteF n la fonction dere´partitiondelavariableale´atoireY n . Onfixeunr´eelstrictementpositifxnoteni’s,noaurembert´seesT x ailbselaedvsras´eatoireY n telles quel’´eve´nement(Y n ≤x.is´es)lae´rtio

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