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Mathématiques III 2003 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques III 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2003 sur Bankexam.fr.
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ESSEC option Eco 2003 Maths III Exercice1Suitesr´ecurrentesetalg`ebreline´aire N Soitateuner´ronbmnOonee.lRrue´neissenldelembsersetiussdsellee´N, etFle sous- ensemble N deRssedetiuofs(e´mrun:etnivquri´e)nNun+3= 3a un+1+ (13a)un. nN Lobjetdeceproble`meestle´tudedelensembleF. ´ I. Etude du cas particuliera= 1. Soit (unemretsrestresrspamirespoialustidee´nei)u0, u1, u2ruer´rcecnelare,etondelati nN nNun+3= 3un+12un.    un00 1    Pour tout entier natureln, on pose :Xn=un+1et on noteM010eer´arcecirtamal un+22 3 0 1. Reconnaˆıtre,pour tout entier natureln, le produitM Xn. Ende´duirelexpressiondeXnen fonction des matricesM,X0et de l’entier natureln. 2.a)Dte´einrmleerlavssrueporpdserectairlemaM.e´icossaerltueeproppaces-esrsou b) LamatriceMest-elle diagonalisable ? 3 3. Onnotefl’endomorphisme deRacinonocsse`ai´emqutaenMeuqletste,credia--`Msoit la 3 matrice defdans la base canoniqueBdeR. 0 00 00 aesabD´)eretnemineruB= (e ,e ,e) telle que la matriceTdefdansBeirev´T=   1 2 3 2 0 0   0 0 0 0 11,et que les vecteurse ,e ,ectivespeentraicorem-erpre`imnemeuopt 1 2 3 0 01 posante 1, 1 et 0. n butentiernra,tpuoruerltotereimen)´Dn, l’expression deT 4. SoitPla matrice de passage de la baseB`balaaseBExprimer’ .Men fonction deT,Pet 1n P, puisMirecesdtleetneirnaturelncfoentamsemeˆmsednoitn. 1 5.a) CalculerP(les calculs devront figurer sur la copie) n b) Pourtout entier naturelnneigdei`emelerlac,selrelucenciecoprladetsMeridne;ude´ l’expression deunen fonction deu0, u1, u2et de l’entier natureln. ´ II.Etudeducasge´n´eral. Onrevientaucasge´ne´ralou`auelqonlce.quenutsee´r 1.Structure de F . N amontrerqueD)e´Fest un sous-espace vectoriel deR 3 bionnscoOn)erldie`citapalpϕ:FR. (un)(u0, u1, u2) n De´montrerqueϕacspeedsmhirpmodne;sleirotcevseue´eduireqinosseutFest de dimensionnieetpre´cisersadimension. essec˙2003˙E˙3 Page1/ 5
c) Justifier que des suites (un() ,vn),(wn) deFforment une base deFsi, et nNnNnN   u0v0w0   seulement si, la matriceu1v1w1est inversible. u2v2w2 d) Onsuppose dans cette question:a= 0 . 0 00 On notes, s, slap:rniesd´eitesessu
10 −100 −1 s=ϕ((1,0,0)), s=ϕ((0,1,0)), s=ϕ((0,0,1)) 0 00 De´terminers, s, s(on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); end´eduirelaformege´ne´raledune´le´mentdeF. eesquontindrelareetnesnade´rpde´cleepc)aRsa= 1/3 2.SuitF.deteiruqsese´goe´m n aertronemD´)(etiusaleuqr) appartienta`Fe´rseileisl,emtnueele,strest racine de nN 3 la fonction polynomialep:xx3a x+ 3a1 0 (avec la convention :0 =1) bdnrutcoiD)e´leinrmte´eonnf,eera, le nombre de racines de la fonctionpainsi que leur valeur. 3.cnitsidsenicarsirottmeadupo`asCtes. aioctnuqlefanouq,eolsremontrer)D´padmet trois racines distinctes 1,r1etr2, les suites n n (1) ,(r1) et(r2une base de l’espace vectoriel) formentF nNnNnN bDanslecaso`u)a= 7, exprimer, en fonction de l’entier natureln´eegrmtele,lare´nunde lasuite,appartenant`aFi:e´vreq,iuu0= 1, u1= 10, u2=8 4.e.Cainedoublnutecareu`osmdap n a) Soitr(ree´leteunnmorbunl)edetiusa´eegrmtealern´nrmeno.´Duq,ertretoutpour nN ndeN: n0 un+33a un+1(13a)un=r(n p(r) +r p(r)) b)nE´ddeiueruqe,lorsquepadmet une racine doubler0et une racine simpler1la suite n nn n (n r0) appartienta`Fe´ome,dtqreutneruitelesss(r0() ,n r0) et(r1) nNnNnNnN forment une base deF. c)Danslecsa`oua= 1/g´me´eenrlmeeret4e,pxirlarun(nqueelcontqule´neme´udun)nN deFen fonction deu0, u1etu2et de l’entier naturelne(ed;e´rpesiclalrtimiun) . nN Exercice2:probabilite´setsimulationinformatique. I. Exemple introductif. Oneectuedeslancerssuccessifs(inde´pendants)dunde´cubiquee´quilibr´e,dontlesfacessont num´erote´esde1a`6,etonnoteX1, X2, . . . Xn, . . .en´aolrtnoedmnuner´isemaaenoetsal´ablevari,les parled´eauxpremierlancer,deuxie`melancer,.... Pour tout entier naturelnnon nul, on noteYn, la somme des points obtenus auxnpremiers lancers. Enfin, pour tout entier naturelkrelal,nuonniotae´laelbairavTkcompte le nombre de celles des variablesal´eatoiresY1, Y2, . . . , Yn, . . .nfrieualreeuri´enerpiuqvenutnenageluoe´a`k. Parexemple,silescinqpremiersnum´erosamen´esparlede´sont,danslordre:3,1,2,3,6,alorsles ´eve´nementssuivantssontre´alis´es:(Y1= 3),(Y2= 4),(Y3= 6),(Y4= 9),(Y5= 15), et les variables ale´atoiresT2,T3,T9etT12prennent respectivement pour valeurs 0, 1, 4 et 4 .
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1.Onsint´eresseireeatoaln`aravblial´easnadtteceuqeoitsT12.
a) Donnerles valeurs prises parT12 (Onexpliciteraunexempleder´esultatcorrespondanta`chacunedesdeuxvaleursextrˆemes). Quelleestlaprobabilit´equeT12prenne la valeur 12 ? binformatique) Simulation Comple´terleslignesmarqu´eesparlessymboles...duprogrammePascalci-dessous,de fac¸onquilsimulelexp´erienceale´atoiree´tudi´eeetachelavaleurdeT12. On rappelle querandom(6)ournitun.f2e,´3t,a4i,o5e,ranpemirt0rie1l,a Program ESSEC2003A; var x,y,t:integer; begin randomize; y:=0;t:=0; repeat x:=random(6)+1; y:=...; t:=...; until ...; writeln(T=’,t); end.
2.ravalbai´laeotaettceueeqiostaln`sni´treseesadsnireOnT2
aeedt´lioldirealabibpeor)Drmin´eteT2. bo-tneitbcala`noQu)ssuo?suce´tnategahxeneecmmdei-prleraog program Essec2003B; var i,d1,d2:integer; loi:array[0..2] of integer; begin for i:=0 to 2 do loi[il:=0; for d1:=1 to 6 do for d2:=1 to 6 do if d1 > 2 then loi[0]:=loi[0]+1 else if d1+d2 > 2 then loi[1]:=Ioi[1]+1 else loi[2]:=Ioi[2]+1; for i:=0 to 2 do write(loi[i]/36); end.
Dor´enavant,onconsid`ereunesuite(Ximeespacesurunmˆe´deinsetaioer,s´ealesbliaarevd) i1 probabilise´(Ω;T;Pleelntme),tumuemolmeeˆavel,ia`epenind´es,ddant.sellitosspurnuouesiv Pour tout entier naturelnnon nul, on pose alors :Yn=X1+X2+∙ ∙ ∙+Xnet on noteFnla fonction dere´partitiondelavariableale´atoireYn. Onxeunr´eelstrictementpositifxnotenis,noaurembert´seesTxailbselaedvsras´eatoireYntelles quel´eve´nement(Ynx.is´es)lae´rtio
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