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Mathématiques III 2005 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2005 sur Bankexam.fr.
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE. n Dans cet exercice,nOn noteest un entier supérieur ou égal à 2.Elespace vectorielRetIdlapplication identité deE. Lobjet de lexercice est létude des endomorphismesfdeEvériant léquation() :ffId= 4
A. Étude du casn= 2.   p 1 1 2 Soitflendomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique est :A= 2 11 p22 2 p Soitule vecteur deRdéni paru=. 2
1. Montrerquefvérie léquation(), puis préciser le noyau et limage def.
2. OnnoteF= ker(f2 Id)etG(= Imf2Id):
(a) MontrerqueGest engendré par le vecteuru. Endéduire la dimension deFet donner une base deF. (b) VérierqueGest le sous-espace propre defassocié à la valeur propre2.
3. Montrerquefest diagonalisable; préciser les valeurs propres defet donner la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.
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B. Étude du cas général. On se place désormais dans le cas oùnest supérieur ou égal à2, et on considère un endomorphismefdeE vériant léquation().
1 1. (a)Justier quefest un automorphisme deEet exprimer lautomorphisme réciproquefen fonction de f: (b) Déterminerles valeurs propres possibles def. (c) Vérierque2 Idet2 Idsatisfont léquation(). On suppose dans la suite de lexercice quef6Id= 2f etf6=2 Idet on noteF(= kerf2 Id)et G(= Imf2Id):
2. Soitxun élément deEque. Montrer(f(x)2x)appartient àker (f+ 2 Id)et que(f(x) + 2x)appartient àF. En déduire queGker (f+ 2 Id)et queIm (f+ 2Id)F. Montrer que2et2sont les valeurs propres def
3. Soitxun vecteur deker (f+ 2 Id).
(a) Exprimer(f2 Id) (x)en fonction dexuniquement. En déduire quexappartient àG, puis queG(= kerf+ 2 Id) (b) Montrerquefest diagonalisable.
PROBLÈME. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urne blanche contenantnboules blanches numérotées de 1 ànet une urne noire contenant nboules noires numérotées de 1 àn, dans lesquelles on e¤ectue des suites de tirages.À chaque tirage, on tire simultanément et au hasard une boule de chaque urne.On obtient ainsi à chaque tirage, deux boules, une blanche et une noire. On dira quon a obtenu une paire lors dun tirage, si la boule blanche et la boule noire tirées portent le même numéro.
Partie I. Tirages avec remise 1. Danscette question, on e¤ectue les tirages avec remise jusquà ce que lon obtienne pour la première fois une paire.
(a) Préciserlespace probabilisé(; A; P)qui modélise cette expérience. (b) OnnoteYla variable aléatoire égale au nombre de tirages (de deux boules) e¤ectués. Déterminer la loi deY; donner son espérance et sa variance. 2. Écrireen Pascal une fonction dont len-tête estpgrml (n :integer): integerqui modélise lexpérience précédente. 3. Danscette question, on suppose quen= 2e¤ectue des tirages avec remise jusquà ce que lon obtienne. On pour la première fois la boule blanche numérotée 1.On noteUla variable aléatoire égale au nombre de tirages e¤ectués, etZla variable aléatoire égale au nombre de paires obtenues à lissue de ces tirages. (a) Calculer,pour toutkdeN,P(U=k). En déduire la probabilité que lon nobtienne jamais la boule blanche numéro 1. Reconnaître la loi deU. (b) Déterminerla loi conjointe du couple(U; Z).
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  `   +1 P1 ` (c) Montrerque, pour toutkdeN,P(Z=k) = k 4 `=k (d) CalculerP(Z= 1). 1 Montrer queP(Z= 0) = 3 (e) Enutilisant la formule dite du triangle de Pascal et le résultat de la question c) pourk=i+ 1, justier, pour toutideN, légalité : 1 1 P(Z=i+ 1) =P(Z=i+ 1) +P(Z=i) 4 4 (f) Endéduire la loi deZ.
Partie II. Tirages sans remise. Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans les deux urnes, jusquà ce que les urnes soient vides.On noteXnle nombre de paires obtenues à lissue desntirages.
A. Étude de cas particuliers. 1. Déterminerla loi deX1: 2. Onsuppose dans cette question quen= 2. Combien y a-t-il de résultats possibles ?Quelles sont les valeurs prises parX2? On précisera pour chaque valeur prise parX2, lensemble des événements élémentaires permettant de lobtenir. En déduire la loi deX2.
B. Étude du cas général. On se place dans le cas oùnest un entier naturel non nul.
1. (a)Décrire luniversdes événements observables. (b) Déterminerle nombre total de suites de tirages possibles. (c) Déterminerlensemble des valeurs prises parXn. Pour tout entier naturelk, on notea(n; k)le cardinal def!2jXn(!) =kg. Parconvention,a(0;0) = 1. n P 2. (a)Préciser la valeur dea(n; j) j=0 (b) Déterminera(n; n)eta(n; n1). 3. (a)Justier, pour tout entierjtel que06j6n, légalité suivante :   a(n; j)n a(nj;0) = n!j(nj)! En déduire la relation :   n X n a(j;0) =n! j j! j=0 Donner lexpression dea(n;0)en fonction des nombres(a(j;0)) 06j6n1 (b) Soitkun entier compris entre1etnetiun entier compris entre0etk1.    j kk ki Justier légalité :=, puis montrer que i ji ji k   X j k j (1) =0 i j j=i
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En déduire la valeur de la somme : k1   X j k j (1) i j j=i 4. (a)Soitkun entier tel que16k6n. On suppose que, pour tout entierjcompris entre0etk1, on a leskégalités : j  X j ji a(j;0) =j! (1)i! i i=0 Montrer légalité :   k X k ki a(k;0) =k! (1)i! i i=0 (On pourra utiliser lexpression, pourn=k, dea(n;0)trouvée dans la question3.a) (b) Endéduire, pour tout entier naturel non nulk, la valeur dea(k;0). (c) Déterminerlensemble des valeurs prises parXnet exprimer la loi deXnà laide dune somme.
Partie III. Tirages mixtes Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans lurne blanche et avec remise dans lurne noire, jusquà ce que lurne blanche soit vide.On noteXn, le nombre de paires obtenues à lissue desntirages. 1. (a)Montrer queXnsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (b) Donner,sans démonstration, lespérance et la variance deX. n On désire modéliser cette expérience.On suppose quenest une constante xée. 2. Dénirun type tableau denentiers notétab, puis deux variables de typetab, dont les identicateurs sont blanc et noir. 3. (a)Soit s un tableau de typetabune procédure dont len-tête est. ÉcrireECHANGE(Var s :tab ; i, j: integer)qui échange les élémentss[i]ets[j]du tableaus. (b) Onconsidère les lignes de programme suivantes utilisant la procédureECHANGE. Begin For i :=1 to n do blanc[i] :=i; For i :=1 to n-1 do Begin j :=RANDOM(n+l-i)+i ; ECHANGE(blanc,i,j) ; end ; writeln; For i :=1 to n do write(blanc[i], ) end. Expliquer le fonctionnement de ce programme et son résultat. On précisera ce qui se passe au premier passage puis aui-ème passage dans la deuxième boucleFor, et en particulier, la raison pour laquelle on écrit linstructionj :=RANDOM(n+i-i)+i. (c) Construireune procédure qui sappelleraINITIALISEpermettant de simuler le tirage sans remise et au hasard desnboules numérotées, en mettant dans la variables[i]le numéro de lai-ème boule tirée (On pourra sinspirer de la question précédente). 4. Écrireun programme complet permettant de simuler lexpérience de cette partie III lorsquen= 20, puis de donner la valeur deXn(Il nest pas nécessaire ici de recopier les procéduresECHANGEetINITIALISE).
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