Ondes de surface et tremblements de terre

Samuel Forest

Description

Ondes de surface et tremblements de terre L'objectif du probleme est de mettre en evidence l'existence d'ondes de surface dans les milieux elastiques isotropes, ondes dont l'importance physique et humaine apparaıtra clairement grace a l'application numerique consacree aux tremblements de terre. Dans l'ensemble du probleme, on se place dans le cadre de l'hypothese des petites perturbations. L'effet de la gravite n'est pas pris en compte. 1 Preliminaires On sait que deux types d'ondes peuvent se propager dans un milieu homogene elastique lineaire et isotrope, a savoir les ondes longitudinales et les ondes transversales. On admet que le champ de deplacement au sein d'un tel milieu peut se decomposer en deux contributions : u (X ) = u L(X ) + u T (X ) (1) telles que rotu L = 0 et divu T = 0 (2) ou div et rot designent respectivement les operateurs divergence et rotationnel. On rappelle que le champ de deplacement d'un tel milieu verifie les equations de Navier (? + µ)grad (divu ) + µ∆u = ?a (3) en l'absence d'efforts de volume et ou a (X ) designe le champ d'acceleration du milieu. Les constantes de Lame du milieu sont ? et µ. L'operateur ∆ represente le laplacien1. 1.1 Equations des ondes Montrer (ou admettre) que si, dans un corps homogene elastique lineaire et isotrope, le champ u L, dit onde longitudinale, et le champ u T , dit onde transversale, verifient, separement,

• massif semi–infini


• onde de surface


• condition aux limites de surface libre en x3


• gradient du champ de deplacements


• milieu homogene

Sujets

• Rayleigh

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Ondes de surface et tremblements de terre

L’objectifduproble`meestdemettreen´evidencel’existenced’ondesdesurfacedansles milieuxe´lastiquesisotropes,ondesdontl’importancephysiqueethumaineapparaıˆtraclairement graˆcea`l’applicationnume´riqueconsacre´eauxtremblementsdeterre. Dansl’ensembleduproble`me,onseplacedanslecadredel’hypoth`esedespetites perturbations.L’effetdelagravit´en’estpasprisencompte.

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Pre´liminaires

Onsaitquedeuxtypesd’ondespeuventsepropagerdansunmilieuhomoge`nee´lastique lin´eaireetisotrope,a`savoirlesondeslongitudinalesetlesondestransversales.Onadmetque lechampdede´placementauseind’untelmilieupeutsede´composerendeuxcontributions:

u(X) =u(X) +u(X) (1) L T telles que rotuet div= 0 u(2)= 0 L T ou`divetrotde´signentrespectivementlesop´erateursdivergenceetrotationnel. Onrappellequelechampdede´placementd’untelmilieuv´erifieles´equationsdeNavier

(λ+µ)grad (divu) +µΔu=ρa

(3)

enl’absenced’effortsdevolumeetou`a(X)´dseeLsei.uilumndioaterl´´ecca’dpmahcelengi 1 constantesdeLam´edumilieusontλetµicne.lelepaal´eprntseeuatrerΔo’L.re´p

1.1 Equations des ondes Montrer(ouadmettre)quesi,dansuncorpshomog`ene´elastiqueline´aireetisotrope,lechamp u, dit onde longitudinale, et le champuarsnevsrla,e´vreifient,s´epar´emel,tnsetednotid, L T e´quationsdeNavier,alorsilssatisfonte´galementaux´equationsd’ondes: 2 2 ∂u∂u 2 L 2 T cΔu=, cΔu= (4) L L T T 2 2 ∂t ∂t o`uc L etc T osede´tire´le´catlselenaditugionndestnenpser´dgisesenoedlse´ir´tdentlac´electiveme transversalesquel’onexprimeraenfonctiondescaract´eristiquesdumilieu.

1.2Rapportdesc´el´erit´es Exprimerlerapportdesc´ele´rit´esdesondestransversalesetlongitudinalesenfonctiondu coefficientdePoisson.End´eduireque,quelquesoitlemilieuhomog`ene´elastiqueline´aireet isotropeconside´re´,ona: 0< c T < c L (5)

1 Lelaplaciend’unchampdevecteur,dansunsyst`emedecoordonne´escart´esiennes,estlevecteurayant pour composantes le laplacien de chaque composante correspondante.

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