Ondes de surface et tremblements de terre

Samuel Forest

Description

Ondes de surface et tremblements de terre L'objectif du probleme est de mettre en evidence l'existence d'ondes de surface dans les milieux elastiques isotropes, ondes dont l'importance physique et humaine apparaıtra clairement grace a l'application numerique consacree aux tremblements de terre. Dans l'ensemble du probleme, on se place dans le cadre de l'hypothese des petites perturbations. L'effet de la gravite n'est pas pris en compte. Pour une analyse plus complete de ces phenomenes, on pourra consulter les references (Landau and Lifschitz, 1980) et (Rakotomanana Ravelonarivo, 2009). 1 Preliminaires On sait que deux types d'ondes peuvent se propager dans un milieu homogene elastique lineaire et isotrope, a savoir les ondes longitudinales et les ondes transversales. On admet que le champ de deplacement au sein d'un tel milieu peut se decomposer1 en deux contributions u (X ) = u L(X ) + u T (X ) (2) telles que rotu L = 0 et divu T = 0 (3) ou div et rot designent respectivement les operateurs divergence et rotationnel. On rappelle que le champ de deplacement d'un tel milieu verifie les equations de Navier (? + µ)grad (divu ) + µ∆u = ?a (4) en l'absence d'efforts de volume et ou a (X ) designe le champ d'acceleration du milieu.

• massif semi–infini


• onde de surface


• condition aux limites de surface libre en x3


• ondes longitudinales


• gradient du champ de deplacements


• milieu homogene


• solutions evanescentes

Informations

• Publié par: pefav
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• Langue: Français

Extrait

Ondesdesurfaceettremblementsdeterre L’objectifduproble`meestdemettreene´videncel’existenced’ondesdesurfacedansles milieuxe´lastiquesisotropes,ondesdontl’importancephysiqueethumaineapparaıˆtraclairement graˆcea`l’applicationnume´riqueconsacre´eauxtremblementsdeterre. Dansl’ensembleduproble`me,onseplacedanslecadredel’hypothe`sedespetites perturbations.L’effetdelagravite´n’estpasprisencompte. Pouruneanalysepluscomple`tedecesphe´nome`nes,onpourraconsulterlesre´fe´rences(Landau andLifschitz,1980)et(RakotomananaRavelonarivo,2009). 1Pre´liminaires Onsaitquedeuxtypesd’ondespeuventsepropagerdansunmilieuhomoge`nee´lastique line´aireetisotrope,a`savoirlesondeslongitudinalesetlesondestransversales.Onadmetque lechampdede´placementauseind’untelmilieupeutsede´composer 1 endeuxcontributions u(X)=u L (X)+u T (X)(2) tellesque rotu L =0etdivu T =0(3) ou`divetrotde´signentrespectivementlesope´rateursdivergenceetrotationnel. Onrappellequelechampdede´placementd’untelmilieuve´rifielese´quationsdeNavier (λ+µ)grad(divu)+µΔu=ρa(4) enl’absenced’effortsdevolumeetou`a(X)de´signelechampd’acce´le´rationdumilieu.Les constantesdeLame´dumilieusontλetµ.L’ope´rateurΔrepre´sentelelaplacien 2 . 1.1Equationsdesondes Montrer(ouadmettre)quesi,dansuncorpshomoge`nee´lastiqueline´aireetisotrope,lechamp u L ,ditondelongitudinale,etlechampu T ,ditondetransversale,ve´rifient,se´pare´ment,les e´quationsdeNavier,alorsilssatisfonte´galementauxe´quationsd’ondes: 2 ∂ 2 u L 2 ∂ 2 u T c L Δu L = 2 ,c T Δu T = 2 (5) t∂t∂ ou`c L etc T de´signentrespectivementlace´le´rite´desondeslongitudinalesetlace´le´rite´desondes transversalesquel’onexprimeraenfonctiondescaracte´ristiquesdumilieu. 1 Detoutee´videnceunetellede´compositionn’estpasunique.Elleestassocie´ea`lade´compositionditede Helmholtzquifaitintervenirunpotentielscalaireφ(X)etunpotentielvecteurΦ: u(X)=gradφ(X)+rotΦ(X).(1) 2 Lelaplaciend’unchampdevecteur,dansunsyste`medecoordonne´escartesiennes,estlevecteurayant pourcomposanteslelaplaciendechaquecomposantecorrespondante. 1