Physique 2003 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

David

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Physique 2003. Retrouvez le corrigé Physique 2003 sur Bankexam.fr.

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• Physique
• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 juin 2008
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• Langue: Français

Extrait

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DYNAMIQUE DE MOLECULES DIATOMIQUES

Note au candidat

La calculatrice programmable ou non estinterdite. Les applications numériques demandées peuvent être traitées à la main.

Les vecteurs sont notés en caractèresgras

La dérivée par rapport au temps d’une variablevest é & , sa dérivée seconde, not e v && v .

Le sujet est divisé en 7 parties interdépendantes mais le candidat pourra admettre les résultats fournis dans l’énoncé pour traiter les questions ultérieures. Les parties 5, 6 et 7 sont cependant en large partie indépendantes des parties précédentes.

Introduction

Dans ce problème, on s’intéresse aux mouvements d’une molécule diatomique, notée A 1 A 2 . On étudiera le cas où cette molécule est isolée (parties 1 à 3) puis lorsqu’elle interagit avec un champ électromagnétique (partie 4). Enfin on s’intéressera à une méthode expérimentale permettant de mesurer une grandeur caractéristique de la dynamique de cette molécule (partie 5), méthode que l’on appliquera au suivi d’une réaction chimique (partie 6). Enfin on finira par une étude thermodynamique de cette réaction chimique (partie 7).

Une molécule diatomique peut être assimilée à un système mécanique constitué de deux points matériels A 1 et A 2 de masses respectives m 1 et m 2 situés dans un référentiel R galiléen aux positions définies par les vecteursr 1  etr 2 (cf. figure ci-dessous). Les quantités de mouvement de A 1  et A 2 sont notées respectivementp 1  etp 2 . Ces deux points matériels sont soumis à des forces d’interaction dérivant d’une énergie potentielle V(r), où r est la norme de r=r 1 -r 2 : la forceF 1 créée par A 2 et s’exerçant sur A 1 s’écrit doncF 1 = - d d r V u r oùu r est le vecteur unitaire porté par la droite (A 1 A 2 ) et dirigé de A 2 vers A 1  (de sorte que l’on peut écrire r= r.u r ). z

x

O

r 1

A 1

r 2

A 2

Référentiel Galiléen R

y

1

Dans les parties 1 à 3, les deux points matériels A 1 et A 2  sont uniquement soumis aux forces d’interaction dérivant de l’énergie potentielle V(r).

1Point matériel fictif A

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Donner la définition et un exemple de référentiel approximativement galiléen.

Donner l’expression de la forceF 2 créée par A 1 et s’exerçant sur A 2 .

Déterminer l’expression der G , position du centre de masse G du système, en fonction der 1 etr 2 dans le référentiel R.

Déterminer la quantité de mouvementp G  G affecté de la masse m = m de 1  + m 2  en  fonction dep 1 etp 2 . Que peut-on dire dep G ? Conclure sur le mouvement de G dans R.

Exprimer les vecteursGA 1 etGA 2 en fonction der.

Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux points matériels A 1 et A 2 et en combinant ces deux relations, montrer quer vérifie l’équation différentielle suivante : && dV 2 /(m 1 +m 2 ). mr1 dr -u r avecm= m 1 m

On définit un point matériel fictif A de positionGA=ret de massem. Les trajectoires de A 1 et A 2 autour de G se déduisent de celle de A par partir des résultats établis à la question 1.5. On admettra donc que le mouvement de A 1 et A 2 dans le référentiel du centre de masse R G se déduit de celui du point matériel A soumis à la forceF 1 .

1.7

1.8

Montrer que dans le référentiel R G du centre de masse, le moment cinétique par rapport à G du système des deux points matériels A 1  et A 2  est égal au moment cinétique par rapport à G du point matériel fictif A.

Montrer que dans le référentiel R G , l’énergie cinétique du système des deux points matériels A 1 et A 2 est égale à l’énergie cinétique du point matériel fictif A.

2

Dans les parties 2 à 4, on se placera dans le référentiel R G du centre de masse G.

2Approximation de l’énergie potentielle d’interaction V(r)

L’énergie potentielle V(r) est représentée graphiquement sur la figure 1. On étudie uniquement les mouvements du système lorsque r reste proche de r e , valeur pour laquelle V(r) est minimum et est égale à –V 0 .

2.1l’état du système lorsque r = rQuel est e ?

2.2A partir d’un développement limité au deuxième ordre de V(r) autour du point (r e , -V 0 ), d 2 V déterminer une expression approchée de V(r) pour r proche de r e  dr . On note k = 2 r 1r e . Quelle est l’unité de k ?

2.3

A partir de l’expression précédente de V(r), déterminer l’expression de la forceF 1  à laquelle est soumis le point A en fonction de k, r, r e etu r . On vérifiera queF 1 est dirigée selonu r lorsque r < r e et selon –u r lorsque r > r e .

V(r)

-V 0

r e

Figure 1

r

Dans toute la suite du problème, on conservera pour V(r) l’expression obtenue à la question 2.2 en supposant que r reste toujours proche de r e .

3

3.1

Vibration et rotation de la molécule A 1 A 2

Quelles propriétés vérifient l’énergie totale E T et le moment cinétiqueLpar rapport à G du point matériel fictif A dans le référentiel R G ? En déduire que la trajectoire de A est plane.

3

On noterau r etu,les vecteurs unitaires usuels des coordonnées polaires (r,Κ) de A dans le plan de sa trajectoire dans le référentiel R G . On noterau z le vecteur u r Ùu è . On rappelle que & d d u t r 1Κu è . &

3.2Exprimer le vecteur vitesse & r du point A en fonction de & r ,Κ et des vecteuru r etsu&

& 3.3ExprimerLen fonction de r, Κ ,met du vecteuru z .

3.4

3.5

3.6

3.7

& Exprimer E T en fonction de r, r e , r & , Κ ,m, k, et V 0 , puis en fonction de r, r e , r & ,m, k, V 0 et L (norme deL).

Montrer que lorsque L = 0, la trajectoire de A est rectiligne et que l’on peut assimiler le système mécanique à un oscillateur harmonique dont on exprimera la pulsationw 0 (appelée aussi pulsation de vibration de la molécule) en fonction de k etm. Déterminer l’expression de la trajectoirer(t) du point A avec les conditions initiales suivantes : r(0) = C.u r et r & (0) = 0.

On suppose L¹ Montrer que si le mouvement du point A est uniforme alors ce 0. mouvement est un cercle centré sur G dont on calculera le rayon, R, en fonction de r e , w 0  etW, vitesse angulaire de A autour de G (aussi appelée pulsation de rotation de la molécule).

Applications numériques. On considère la molécule A 1 A 2 caractérisée par : r e = 10 -10 m, k = 1000 SI etm= 10 -26  10 kg. Pour les calculs numériques, on prendra 13 .

3.7.1

3.7.2

3.7.3

3.7.4

Justifier rapidement les ordres de grandeur de r e etm&

Calculer la valeur dew 0 .

Calculer la valeur deWdans le cas où L = 10 -33 J.s et en supposant R proche de r e .

A quel(s) domaine(s) du spectre électromagnétique appartiennentw 0 etW?

4Absorption d’une onde électromagnétique par la molécule A 1 A 2

On suppose que les atomes A 1 et A 2 de la molécule A 1 A 2 sont chargés :A 1 porte une charge q et A 2 interagit avec le champ électromagnétique d’une onde planeune charge –q. La molécule progressive monochromatique (OPPM) de pulsationwet de vecteur d’ondeK, dont le champ électrique s’écrit en un point P du référentiel R G :E= E 0 cos(wt -K OP)u r , avecw¹w 0 .

On supposera la molécule A 1 A 2  petite par rapport suffisammentl, longueur d’onde de l’OPPM, pour que le termeK OP négligeable lorsque P décrit la molécule A soit 1 A 2 . On pourra donc considérer queE spatialement uniforme sur toute la molécule A est 1 A 2  et l’écrire :E= E 0 cos(wt)u r .

4

Dans cette partie, on supposera qu’initialement sous la seule action de la force dérivant de V(r), le point A a un mouvement rectiligne porté paru r .

4.1

4.2

∗&)

4.4

Schématiser le champ électromagnétique d’une OPPM de pulsationw de vecteur et d’ondeK, se propageant dans le vide avec une vitesse c. Quelle relation existe-t-il entre w, c et K ?

Si on appelle B 0 du champ magnétique de l’OPPM, montrer que Bl’amplitude 0 = E 0 /c. En déduire que l’on peut négliger l’effet du champ magnétique de l’onde sur la molécule A 1 A 2 .

Donner l’expression du vecteur de PoyntingRde cette OPPM en fonction de E 0 ,∃w, etm 0 Quelle est l’unité de R ?(perméabilité magnétique du vide).

L’intensité I de l’OPPM incidente est définie comme la valeur moyenne de la norme de son vecteur de Poynting. En se rappelant que c = 1 / m 0 Α 0 , montrer que I = (cΑ 0 (E 0 ) 2 )/2.

On rappelle que l’énergie potentielle V(r) prend en compte toutes les interactions entre A 1 et A 2 particulier les interactions électrostatiques entre Aen 1 et A 2 .

4.5

4.6

4.7

4.8

Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux points A 1  A et 2  la lorsque molécule A 1 A 2 interagit avec l’OPPM.

En combinant les deux relations précédentes, montrer que l’équation différentielle régissant le mouvement de A s’écrit : & r & #w 2 0 r1(q/m)E .

En supposantw¹w 0 , établir l’expression de u(t) = r(t) – r e dans le cas du régime forcé. On cherchera u(t) sous la forme u = u 0 cos(wt) et on exprimera u 0 en fonction de q,m, E 0 ,wetw 0 .

Que devientrlorsquew=w 0 ? Interprétation ?

Pour pallier au problème mis en évidence dans la question précédente, on suppose que le point matériel A est en outre soumis à une force de frottement de la formeF r = -Δ r & .

4.9Avec ce nouveau modèle, établir l’expression de u(t) dans le cas du régime forcé sous la forme u = u 0 cos(wt +Φ) et exprimer u 0 etΦen fonction de q,m,Δ, E 0 ,wetw 0 .

4.10Expliquer qualitativement pourquoi la molécule absorbe de l’énergie à chaque cycle du champ électrique.

4.11En supposant que la puissance P A molécule est égale à la puissance par la  absorbée moyenne dissipée par la force de frottementF r , montrer que q 2 (E 2 2 0 P A 1 2m 2 ( ) w 2 %w 2 ) Δ 2 # w (Δ/m) 2 w 2 . 0

5

4.12Tracer l’allure de P A en fonction dewlorsqueΔ/mest petit devantw 0 .

4.13Applications numériques. On donne I = 1,5.10 -3  W/m 2  etΔ = 10 -13  on prendra SI et c = 3.10 8  m.s -1  2 , q = .10 -19  C,Α 0  10 = -11  F/m et N A  = 6.10 23  mol -1  (nombre d’Avogadro).

5

4.13.1Calculer la valeur de E 0 .

4.13.2Calculer la puissance absorbée par la molécule A 1 A 2 lorsquew=w 0 .

4.13.3de gaz de ces mêmes moléculesCalculer la puissance absorbée par 1 mole lorsquew=w 0 .

Spectroscopie d’absorption infrarouge

Pour détecter la présence d’une molécule dans un milieu et mesurer sa pulsation caractéristique de vibrationw 0 on utilise la technique expérimentale de spectroscopie, d’absorption. Le principe de cette expérience est représenté schématiquement sur la figure 2. Une source qui rayonne dans l’infrarouge éclaire une cellule d’absorption contenant un gaz des molécules à caractériser. Les différentes pulsations du rayonnement ayant traversé la cellule sont séparées spatialement par un élément de dispersion et sont envoyées sur une barrette de détecteurs sensibles dans l’infrarouge qui délivrent chacun un signal proportionnel à la puissance du rayonnement qu’ils interceptent. On peut de cette façon mesurer la puissance des composantes spectrales de la source ayant traversé la cellule.

5.1

5.2

rayonnement infrarouge

source

cellule d’absorption

élément dispersif

Figure 2.

barrette de détecteurs

w

affichage

A quelles gammes de pulsations correspondent les rayonnements infrarouges ? Citer un exemple de source de rayonnement infrarouge.

Représenter l’allure du signal de sortie du détecteur en fonction dew, en supposant que la puissance de la source infrarouge est constante dans toute la gamme des pulsations infrarouges et que les molécules enfermées dans la cellule n’absorbent que le rayonnement à la pulsationw 0 . .

6

Dans l’infrarouge, on supposera que l’on peut utiliser comme élément de dispersion un prisme (en fait, on utilise plus fréquemment un réseau ou un interféromètre) dont l’indice N varie avec la pulsationw.

Le prisme utilisé dans l’expérience est équilatéral. La figure 3 représente schématiquement la propagation d’un rayon infrarouge à travers le prisme. Les angles caractérisant cette propagation, tous orientés dans le sens trigonométriques, sont notés :Κ i , l’angle entre la normale à la face d’entrée du prisme et le rayon infrarouge incident;Κ r , l’angle entre la normale à la face d’entrée du prisme et le rayon réfracté dans le prisme;Κ r ’ l’angle entre le rayon réfracté dans le prisme et la normale à la face de sortie du prisme;Κ’ l’angle entre le i  rayon émergent du prisme et la normale à la face de sortie du prisme. Enfin on note D la déviation totale du rayon à travers le prisme, c’est-à-dire l’angle entre le rayon émergent et le rayon incident.

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

air

Κ i

prisme d’indice N

Montrer queΚ r +Κ r ’ =ϑ/3.

ϑ/3

Κ r Κ r ’

Figure 3.

Κ i ’

air

D

En appliquant la loi de Snell-Descartes à la réfraction du rayon infrarouge sur la face de sortie du prisme, établir une relation entreΚ r ’,Κ i ’ et N.

En déduire que siΚ r ’ est supérieur à un angle limiteΚ l ’ que l’on exprimera en fonction de N, le rayon infrarouge subit une réflexion totale dans le prisme sur la face de sortie du prisme.

Appliquer la loi de Snell-Descartes à la réfraction du rayon sur la face d’entrée du prisme et en déduire que siΚ i  est inférieur à une valeurΚ l  l’on exprimera en que fonction deΚ l dans le prisme sur la face de’ et N, le rayon subit une réflexion totale sortie du prisme.

Montrer que D =Κ i +Κ i ’ –ϑ/3.

Montrer que lorsqu’on fait varierΚ i , D(Κ i ) passe par un extremum lorsqueΚ r  =Κ r ’ et Κ i =Κ i ’. On supposera que cet extremum est un minimum. Quelle est la particularité du minimum de déviation ?

7

On appelle dispersion angulaire à incidence fixe (Κ i  constant), la quantité D A  : par définie D A = dD  . dl Κ i fixe On suppose que l’indice N du prisme varie avec la longueur d’onde du rayon infrarouge selon la loi N = A + B/l 2 , A et B étant deux constantes dépendant du matériau constituant le prisme.

5.9Montrer qu’au minimum de déviation, D A peut se mettre sous la forme : D 1 %  . 2B 1 A cos(Κ i ) l 3  On donne sin(ϑ/6) = 0,5.

5.10Applications numériques. On donne B = 10 -14 m 2 .

5.10.1Calculer D A pourl= 1mm et cos(Κ i ) = 2/3,

5.10.2Calculer approximativement l’écart angulaire entre deux radiations de longueurs d’onde 0,9mm et 1,1mm.

Les détecteurs sont des résistances photoconductrices dont la caractéristique en fonction de la puissance P du rayonnement qu’elles interceptent est donnée par R = R 0  +a.P, oùa est la sensibilité du détecteur. Chaque détecteur est inséré dans un pont de Wheatstone alimenté par une source de courant d’intensité constante I 0 (cf. figure 4).

5.11Montrer que sia.P reste petit devant R 0 , la chute de tension V B – V A est proportionnelle à P et calculer le coefficient de proportionnalité en fonction de R m , R 0 ,aet I 0 .

5.12Application numérique : aveca= 1W/W, I 0 = 80 mA et en prenant R m = R 0 , calculer V B – V A lorsque P = 1 mW.

I 0

R 0 +a.P

A

R 0

Figure 4.

R m

R 0

R 0

B

8

6

Etude cinétique de la formation de molécules HCl

La cellule d’absorption est une enceinte en contact avec un thermostat de température T 0  300 K et un réservoir de pression P = 0  =1 bar. Elle enferme un système réactionnel  initialement constitué d’un mélange de une mole d’hydrogène gazeux H 2(g) et de une mole de chlore gazeux Cl 2(g) . Ces deux gaz réagissent pour former un gaz de molécules HCl selon la réaction : H 2(g) + Cl 2(g) | 2HCl (g) , 

Les grandeurs thermochimiques associées à cette réaction sontD r H 0  -200 kJ.mol = -1  et D r S 0 = 20 J.K -1 .mol -1 . On prendra pour la constante des gaz parfait R = 8 J.K -1 mol -1 .

Le relevé des spectres d’absorption infrarouges au cours de cette réaction chimique ne font apparaître qu’une pulsation remarquable de vibrationw 0  1,3 10 = 14  rad.s -1  caractérise la qui vibration des molécules HCl. La figure 5 représente l’allure de l’évolution en fonction du temps de la tension de sortie V B  – V A  par le détecteur lorsque celui-ci n’intercepte que les rayons de pulsation délivrée w 1 w 0 .

6.1

6.2

V B - V A 

début de la réaction (t = 0)

Figure 5.

t

d D e o  n D r ren G 0 T e  r e p t x , e  ’l R  , s 0 ednoitcnofneuisp tantedlaocsnsoined D ’ r équ H 0 ili ,D br S e 0 K eq T ed 0 r q e u r mieneontihicalcaér .stJuieifqurno’tuepnocédis ntcoifno r , R et la réaction chimique comme totale.

Commenter brièvement l’allure de (V B –V A )(t).

On note C H2 (t) et C Cl2 les concentrations molaires respectives des gaz H(t) 2 et Cl 2 au cours du temps t dans la cellule. Au cours de la réaction chimique, la vitesse de disparition des molécules H 2 définie par % dC dt H2 , est proportionnelle à la fois à C H2 (t) et C Cl2 (t) et on note k r la constante de proportionnalité (ou constante de vitesse) de telle sorte que l’on peut écrire : % d dC H t 2 (t) 1k r .C H2 (t).C Cl2 (t).

9

6.3

6.4

6.5

Quelle relation lie C H2 (t) et C Cl2 (t) ?

En déduire l’expression de C H2 (t) en fonction de t, k r et C 0  la concentration initiale de H 2 .

Proposer une méthode permettant de mesurer k r  à partir de l’évolution temporelle des spectres d’absorption infrarouges (figure 5).

7Etude thermochimique de la formation d’HCl

Au cours de la réaction chimique décrite dans la partie 6, le système subit une transformation thermodynamique durant laquelle, entre l’état initial et l’état final (tous deux considérés comme des états d’équilibre), son entropie varie deDS, son enthalpie deDH et son enthalpie libre deDG et au cours de laquelle il échange une chaleur Q avec le thermostat. On note S c l’entropie créée au cours de cette réaction. On rappelle que la transformation chimique est isotherme (T 0 = 300 K) et isobare (P 0 = 1 bar). On suppose tous les gaz parfaits et le mélange idéal .

7.1

7.2

7.3

7.4

Enoncerledeuxièmeprincipedelathermodynamique.Endéduirel’expressiondeS c en fonction deDS, Q et T 0 .

Montrer la double égalité :DH = Q =D r H 0 .

Etablir l’expression deDG en fonction de T 0 et S c .

Expliquer pourquoi cette transformation est irréversible.

¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨Fin du problème¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

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