Première composition de Mathématiques 2002 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Première composition de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 avril 2008
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

S E S S I O N D E 2 0 0 2

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d’accès à des listes d’aptitude (CAFEP) sections : mathématiques  breton

première composition de mathématiques Durée : 5 heures

Calculatrice électronique de poche – y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique, à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999.

Tout document et tout autre matériel électronique sont interdits.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats indiqués dans l’énoncé peuvent être utilisés par les candidats pour la suite du problème.

Les candidats doivent reporter sur leur copie, devant leurs réponses, la numérotation complète des questions de l’énoncé.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale dans sa copie et poursuit sa composition en indiquant les initiatives qu’il est amené à prendre de ce fait.

Notations et objectif

On note : ∗ N l’ensemble des nombres entiers naturels et N l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls, Z l’ensemble des nombres entiers relatifs, π Z l’ensemble des multiples entiers du nombreπ, ∗ R ltesmelbe’snnombedes´eelresr R e’ldelbmesnrembnoessnel´esrnounsl, C l’ensemble des nombres complexes. D’autre part, siAetBsont des parties quelconques de R , on note : A\B`tanenaaptrslpar´eeedesembl’enslAsapta`rtpaanenismaapn’B, autrement ditA∩B. C R Touteslesfonctionsconside´re´esdansceprobl`emesont`avaleursdans C ou dans R . On note◦la composition des applications. On note respectivementetsraapiptliiecaamtiigoannsr“i”peartier´eelle”ete“lpde C vers R . On notecotla fonction cotangente.

L’entier natureln, l’intervalleJde R itnoa’ppilacnonrueirlte,ediv´ent’i,dfdeJvers C (ou vers R ) (n(0) ) e nfe,oesotnntdann´onlbavte´edsioire´f´veee´irldandefsurJ. (En particulier,f=f.) (1) On utilisera la notation usuellefdruoise´rengpf. L’entier naturelnet l’intervalleJde R ind’,urieert´,edivnonodtnate´s,onnn´e:note n D(J) l’ensemble des applications deJvers C au moinsnseusre´iravlbfsdoiJ. n D(J, R ) l’ensemble des applications deJvers R au moinsnseusavlbe´iriodsfrJ. n n C(J) l’ensemble des applications deJvers C de classeCsurJ. n n C(J, R ) l’ensemble des applications deJvers R de classeCsurJ. ∞ ∞ C(J) l’ensemble des applications deJvers C de classeCsurJ. ∞ ∞ C(J, R ) l’ensemble des applications deJvers R de classeCsurJ. On´etendcesnotationsaucasou`Jdes.joissdled’ettsineire´tniivnonsruteinalrvdeonuxdeltseinu’ SiJcentlontireavi’tn’dnill(eert´urienvnoe)idK, sifest une application deJvers C (respectivement   n n vers R ), et si la restriction def`aKarppa`taitneC(Ka`) respectivement C(K, R ) , on pourra   n n consid´ererquefapparaitne`tC(K`a) respectivement C(K, R ) .

z zlnx Soitzlpxefie´xmorbcemounnnoitppa’acilleelelquOne.pprax→x= e , de ]0,+∞[ vers C , est z−1 de´rivablesur]0,+∞taoincilppa’lee´vire´ed,d[x→zxde ]0,+∞[ vers C .

Onconsid`eredansceprobl`emeunintervallefixe´Ide R eurn´erideetonvii’tnd,onticaapelbatsilppa’lr x x→de R vers R ueiqrspa,nsaieuqoe´rarpicx→2x. 2 L’intervalleIe0u]:oe´uqneectsneocsn,+∞ou [0[ , ,+∞[ , ou ]−∞,ou ]0[ , −∞,0] , ou R mˆemlui-.e Ceprobl`emeviseessentiellementl’obtentionder´esultatssimplesrelatifs`al’´equation   x  E(I) :f(x) =xf 2 1 d’inconnuefetanppra’lnetna`lesembaD(I) .   x 1  Une solution deE(Inet´lmenue´odcn)estfdeD(Ilee´rtuotruop,ntfiari´e)vxdeI,f(x) =xf∙ 2 On noteS(Ioitan’leduqe´utolnsiolembssde)’lneesE(I) .

Danscertainesparties,ons’int´eresseplusspe´cialementauxsolutionsdel’e´quationE(I)appartenant`a 1 l’ensembleD(I, R ) . On note alorsE R (Iree“eml`obprce)te”tniertsS R (I) l’ensemble de ses solutions.

LapartieI,tr`escourte,concerneessentiellementl’interpr´etationgraphiquedel’e´quationE R (I) . LapartieII,d’unelongueurmoyenne,traitedesg´ene´ralite´srelatives`al’´equationE(I) et en recherche dessolutionsposse´dantcertainespropri´et´esparticulie`res.   Dans la partie III, plus longue, une interrogation sur la dimension de l’espaceS]0,+∞co[aalt`uind d´ecouvertedesolutionsinattendues. LapartieIV,assezcourte,demandederep´ereretdetraiterdeserreursdansuntextemath´ematique.   LapartieV,longue,proposed’´etablirunthe´or`emedeBoreletdonneuneid´eedel’espaceS]0,+∞[ . Cescinqpartiessontlargementinde´pendantes.Onutilise(II.B.1)dans(III.A.1),(II.C.1)dans(III.B).

1

Partie I I.1.anslecaso`uDIne contient pas 0 , proposer, en l’accompagnant d’une illustration graphique, une interpre´tationge´ome´triquesimpleduprobl`emeE R (I) . 3 I.2.Soit (a, b, c´lmenedte)nue´ C et soitp:I→ C ateln:iopaiearrldnoinfie´lppatacil’ 2 p(x) =ax+bx+c ` Aquelleconditionne´cessaireetsuffisantesurletriplet(a, b, c) l’applicationpappraitne-tleel`aS(I) ?

I.3.Dans cette question, sauf mention contraire,I= ]0,+∞[ . Parmilesapplicationsdontlescourbessontdessin´eesci-dessous,quellessontcellesquinetv´erifienpas l’´equationE R (I) ?seuntsdealilssrer´essreposdem´ersnOreedaderntteonectaenontirasgiqphdseue ces applications etonnejustifirepasaelrse´opsn´enndoes.es

y

O

y

➛ x

Fig. 1 : demi-droite “horizontale”.

O

➛ x

Fig. 5 : arc de parabole d’axe “vertical”.

y

2

O

y

1

➛ x

Fig. 2 : demi-droite.

O

➛ x

Fig. 6 : demi-parabole d’axe (Ox) .

y

1

O

y

2

➛ x

Fig. 3 : demi-droite.

O

➛ 1 x

Fig.7:courbecoı¨ncidantsur ]0,1] avec un arc de cercle.

y

O

➛ x

Fig. 4 : demi-parabole d’axe (Oy) .

–1

y

O

1

➛ 2 x

Fig.8:unesinusoı¨de (I= R ) .

Partie II — A — II.A.1.Montrer que, pour les lois usuelles,S(I) est un espace vectoriel sur C onrn,it`a´edu{0}. Demanie`reanalogue,dequellestructurealg´ebriquepeut-onmunirS R (I) ? II.A.2.Soit une applicationf:I→ C sstet´onuieqlevasetn:tnoM.uelererqisprstrotioiposovinasnus (i)f∈ S(I) ; (ii) ◦f∈ S R (I) et ◦f∈ S R (I) ; (iii) l’applicationx→f(x) , deIvers C tient`aa,rappS(I) .

— B — II.B.1.Soitfdentme´eu´nleS(Ion.M)rraprertnerruce´e,pocequutenurtoanutitreerln,fest (n´dsivire+of)1leabrsuI\ {0}tue´´lme,eopruotquetentxdeI\ {0},     x x n x (n) (n+1) (n) f(x) =f+f n n −1 2 2 2 2 II.B.2.On suppose que l’intervalleI.contient 0 1 Montrerquetout´ele´mentfdeS(I)vri´efief0=)0patetraptnei`a(C(I) .

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