Première composition de Mathématiques 2004 Classe Prepa PC Ecole Polytechnique

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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Première composition de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2004

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

FILIÈRE PC

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   

Polynômes unitaires de norme minimale

Pour tout entierd0, on désigne parE d l’espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degrédet parU d le sous-ensemble des polynômes unitaires de degréd.

Première partie

∗ Soitn∈Net soientx 1 , x, . . . n des nombres complexes distincts. On considère le polynôme  P(X) =(X−x k ), 1kn

 et l’on désigne parPle polynôme dérivé deP.

1.Pour tout entierj,1jn, on pose P(X) P j (X) =∙  (X−x j )P(x j ) a)Montrer que cette expression définit un polynômeP j de degrén−1.

b)CalculerP j (x k ), pour1kn, et montrer que, pour tout polynômeF, le polynôme n  L F =F(x j )P j prend la même valeur queFen tous les pointsx 1 , x, . . . n . j=1

n  c)Montrer queP j = 1. j=1

d)Les polynômesP j ,1jn, forment-ils une base deE n−1 ?

1

n−1  i 2.Pour1jn, on poseP j (X) =b i,j X, oùb i,j ∈C. SoientVetBles matrices i=0 e e complexesn×ndont les éléments à lailigne (1in) et à lajcolonne (1jn) sont j−1 (x i )etb i−1,j , respectivement. Montrer queVest inversible, et queVetBsont inverses l’une de l’autre.

n j  1 (x k ) 3.a)Montrer queb n−1,j =pour. Déterminer la valeur de0jn−1.   P(x j )P(x k ) k=1

n n−1  (X−x k ) b)est un polynôme constant que l’on calculera.En déduire que  P(x k ) k=1   ∗ Dans toute la suite du problème,d∈Nest un entier fixé, etKest une partie compacte du plan complexe, contenant au moinsd+ 1éléments. On poseρ= sup|z|. Pour tout polynôme z∈K Q∈ E d , on pose Q K = sup|Q(z)|. z∈K

Deuxième partie

d  i Pour tout polynômeQ∈ E d , défini parQ(X) =a i X, on pose i=0 N(Qsup) =|a i |. 0id 4.a)Montrer queQ→N(Q)etQ→ Q K sont des normes surE d et qu’elles sont équiva- lentes.

b)La fonctionQ→ Q K est-elle continue sur l’espace vectoriel normé(E d ,  K )?

Q K 5.a)Majorersupen fonction deρ. N(Q) Q∈E d Q=0

b)On choisitn=d+ 1points distincts dansK,x 1 , . . ., x d+1 , et l’on reprend les notations de la première partie. On poseβ= sup|b i,j |. En utilisant les résultats de la question2., 0id 1jd+1 montrer que N(Q) supβ(d+ 1). d Q K Q∈E Q=0  

Dans toute la suite du problème, on pose m= infQ K . Q∈U d 2

d 6.a)Montrer que0mρ.

Troisième partie

b)Montrer queinfQ K =m. Q∈U d d Qρ K

c)Montrer qu’il existeQ 0 ∈ U d tel queQ 0  K =m.

Quatrième partie

∗ 7.Soientk∈Netc k un nombre complexe non nul. Soitz 0 ∈C. On considère le polynôme k Q(X) = 1 +c k (X−z 0 ). Montrer qu’il existez∈Ctel que|Q(z)|>|Q(z 0 )|. [On pourra considérer le module et l’argu- ment dec k et dez−z 0 .]

8.Plus généralement, soitQ∈ E d et soitz 0 ∈C. On suppose queQ(z 0 ) = 1et queQn’est pas constant.

a)Montrer qu’il existe un entierk1, un nombre complexec k ,c k = 0, et un polynôme Rtels que k k+1 Q(X) = 1 +c k (X−z 0 ) +c k (X−z 0 )R(X).

b)Montrer que, pour tout réelr >0, il existez∈Ctel que|z−z 0 |=ret k k Q(z) = 1 +|c k | |z−z 0 |+|c k | |z−z 0 |(z−z 0 )R(z).

c)Montrer que, pour tout réelr >0, il existez∈Ctel que|z−z 0 |ret |Q(z)|>|Q(z 0 )|. 9.a)Montrer que la propriété démontrée à la question8.c)est satisfaite pour tout polynôme non constantQ∈ E d et pour tout pointz 0 ∈C.

b)En déduire que, pour toutQ∈ E d , sup|Q(z)|= sup|Q(z)|. |z|1|z|=1 c)Montrer que, pour toutQ∈ E d , Q(z) sup =sup|Q(z)|. d   z |z|1|z|=1 d)Dans cette question, on choisitK={z∈C| |z|1}. Montrer que le polynôme d Q 0 (X) =Xsatisfait Q 0  K =m .

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Cinquième partie

10.Soientz 0 etz 1 deux nombres complexes non nuls. Montrer que|z 0 +z 1 |=|z 0 |+|z 1 |si et seulement s’il existe un réelλ >0tel quez 1 =λ z 0 .

PourQ∈ E d , on pose M(Q) ={z∈K| |Q(z)|=Q K }. 11.On suppose qu’il existe des polynômes distinctsQ 0 ∈ U d etQ 1 ∈ U d vérifiant

Q 0  K =Q 1  K =m .

Pour toutt∈]0,1[, on pose Q t =t Q 1 + (1−t)Q 0 . a)Montrer que, pour toutt∈[0,1],Q t  K =m.

b)Soitt∈]0,1[et soitz∈ M(Q t ). Montrer quez∈ M(Q 0 )etz∈ M(Q 1 ), puis montrer queQ 0 (z) =Q 1 (z).

c)En déduire que, pour toutt∈]0,1[, Card(M(Q t ))< d.

12.On suppose qu’il existeQ∈ U d tel queQ K =met tel que Card(M(Q))d.

a)Montrer qu’il existe un polynômeL∈ E d−1 tel que, pour toutz∈ M(Q),L(z) =Q(z).

1 ∗ ∗ b)SoitQ p =Q−L, pourp∈N. Montrer que, pour chaquep∈N, il existez p ∈K p tel que|Q p (z p )|Q K .

On admettrale résultat suivant : il existe une suite strictement croissante de nombres entiers, p→n p , telle que la suitep→z n p converge vers un élémentde la partie compacteKdeC, quandptend vers+∞.

c)Montrer que|Q()|=Q K . En déduire queQ() =L().

  )etL(z) =Q()(1 +ε)(1 +ε) p etε p d)Montrer queQ(z n p ) =Q()(1 +ε p n p p p , oùε sont des suites de nombres complexes, définies pourpassez grand, telles quelimε p = 0et p→+∞  mε= 0. En déd |1 +ε p |1, etli p uire que, pourpassez grand,|Q n p (z n p )|<Q K . p→+∞

13.Y a-t-il unicité du polynômeQ 0 ∈ U d tel queQ 0  K =m?

∗ ∗ ∗

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