Première composition de Mathématiques 2005 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)
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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Première composition de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

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Publié le 01 avril 2008
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Langue Français

Exrait

Notationsetobjetduproble`me
Onde´signepar: Nl’ensemble des entiers naturels; Z;l’anneau des entiers relatifs Qle corps des nombres rationnels; Ql’ensemble des nombres rationnels non nuls; Relproc;ssrreel´eessdmbno ∗ ∗ R[resp.R];s]l´eeldesrmbleensets.pser[slunnonsifitostpenemctri + Cle corps des nombres complexes; C;l’ensemble des nombres complexes non nuls Z[x]fita.snofseduaopsnoitcneanlstneicnersleitremiallynocoees`a Pour tout entier natureln,on noten!la factorielle denavec la convention0! = 1. Sif´endniioctonefuntsesurnieed´eavlbe´irnedtnmiRs`ra´vealeursetellekest un entier (k) naturel non nul, on notefriv´eedordrenofale´dnoitckdef.On utilise la convention habituelle, (0) f=f. SiItetniutsee´lellrereavintnunpoit`a´edunonrfoitcnofenueedblvari´endIdansC,on 0 f rappellequelad´eriv´eelogarithmiquedefest la fonction. f Lapremie`repartiedeceproble`meestconsacr´ee`alad´emonstrationdequelquesr´esultatsutiles pour la suite. Dansladeuxi`emepartie,`apartirdunecaracte´risationdessousgroupesadditifsdeR(ils sont densesoudiscrets),onde´duituncrit`eredirrationalite´etonde´critunem´ethodepermettantde prouverquunr´eelestirrationnel. r Cetteme´thodeestutilis´eedanslatroisi`emepartiepourmontrerlirrationalite´deepour tout nombre rationnel non nulr.xomiparpsnartaoinelltionesCeproc´e´demrepe´teelagntmeobdniteesrd de la fonction exponentielle. Danslaquatri`emepartieonsinte´resseauxracinesr´eellesdessolutionsdune´equationdie´rentielle line´airedordre2etpntnessnatnoocntsncieacoe`neci´esrleelessditrailucasrearxuofcnitnodse Bessel d’indice entier. Enndanslacinqui`emepartie,onmontrequelesracinesr´eellesnonnullesdesfonctionsde Besseldindiceentiersontirrationnellesenutilisantunem´ethodevoisinedecellede´critedansla deuxi`emepartie.
Onrappellelaformuledint´egrationparpartiesite´r´ee:sia, bqseusrdentsoelstel´ea < b, nun entier naturel non nul etf, gdofseitcndsnon´essielurteinlealrv[a, b]datesellee´rsruealav`antmett desde´rive´escontinuesjusqu`alordren,alors : " # b ZnZ b b X (n)k+1 (nk) (k1)n(n) f(t)g(t)dt= (1)f g+ (1)f(t)g(t)dt. a a k=1 a
IR´esultatspr´eliminaires
Pourcettepartie,onde´signeparpun entier naturel, parPune fonction polynomiale dansZ[x] nonidentiquementnulle,dedegr´ep,et parnun entier naturel. 1. SoitQdee´imlaap:rneinctilafolynoonpo n x xR, Q(x) =P(x). n! 1
(k) (a) Montrerque pour tout entier naturelk, Q(0) est un entier relatif. (n+k) Q(0) (b) Montrer que pour tout entier naturelkcompris entre 0 etp,est un entier k! relatif. 2. SoitRpnlotcoifanol:raepnied´leiaomyn 1 n xR, R(x() =x(1x)P(x)). n! (k) (k) (a) Montrerque pour tout entier naturelkeslanqut´tiesR(0) etR(1) sont des entiers relatifs. (n) (b) Montrerque la fonction polynomialeUed´epniraU=Rappaeitrnt`aZ[x]. 3. Enreprenant les notations deI.2uo`,PdansZ[x]\ {0}gededtser´ep,montrer que pour toute fonctionfdnine´nemie´dtvariedbleRdansRon a : Z Z 1 1 (n)n(n) f(t)R(t)dt= (1)f(t)R(t)dt. 0 0
– II – Sous-groupes additifs deRectreseir`tratidirit´eonal
On dit qu’un sous-groupe additifHde(R,+)est discret si pour tout compactKdeR,l’inter-sectionHKest vide ou finie. Pourtoutre´elθ,on noteHθ=Z+θZle sous-groupe additif deRerapdr´engen1etθ.Il est de´nipar: © ª 2 Hθ=p+|(p, q)Z. 1. Montrerque les sous-groupes additifs deRdiscrets sont de la forme :
αZ={|pZ},
ou`αlee´rnutse. 2. SoientHun sous-groupe additif deRt`uiaonnedr´{0}etK=HR. + (a) MontrerqueKadmetunee´irueerobnriefnαdansR+. (b) Montrerque siαest strictement positif, alorsαest dansK. (c) Montrerque siαest strictement positif, alorsHest discret. (d) Montrerque siαest nul, alorsHest dense dansR. 3.Montrerquunre´elθest irrationnel si et seulement si le sous-groupe additif deR, Hθ=θZ+Z est dense dansR. 4.Montrerquunr´eelθest irrationnel si et seulement si il existe deux suites (pn() etqn) nNnN d’entiers relatifs telles que : nN, qnθpn6= 0,(1) lim (qnθpn) = 0.(2) n++P1 5.Montrerlirrationalit´edunombree=enladeatltontiesqunasilituuse´reltII.4. k! k=0
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6. Pourcette question, on se donne un entier naturelp,une fonction polynomialePdansZ[x] de degr´epne s’annulant pas sur ]0,1[ et on lui associe les suites de fonctions polynomiales (Un) nN et (Ln):rapesnied´ nN 1 n Un(x) =(x(1x)P(x)), n! nN,xR, (n) Ln(x) =Un(x). Onsedonnee´galementunefonctionftn´drevibaeledind´enimeRdansRet on lui associe la suiteder´eels(Rn:ar)e´dpein nN Z 1 nN, Rn=f(t)Ln(t)dt. 0 (a) Onsuppose que la fonctionfesesh`ote:ntvauire´vpyhlei (n) nN,t]0,1[, f(t)6= 0.(H1) Montrer alors queRnest non nul pour tout entier natureln. (b) Onsuppose que la fonctionfaviusese`htopyhelierv´:etn  Z1(n) ¯ ¯ f(t)dt 0   ilexisteunr´eelρ >ntriobetios)2H(.ee´te0uelqsula nρ nN n Montrerquepourtoutre´elµla suite (µ Rnconvergente vers 0) est. nN (c) Onsuppose que la fonctionferielesv´es(syhophte`H1),(H`ethpohylet2):etnaviuses qnθpn nN, Rn= (H3) n αλ o`uα, λ, θnesdnrosoes´tlnete(unslpn),(qn) deuxsuites d’entiers relatifs. nNnN Montreralorsqueler´eelθest irrationnel.
rIIIIrrationalit´edeepourrQ
Pourcettepartie,ond´esignepar(Un)et(Ln)ar:´eniespdsnoitcnofedsetisuesl nNnN n n x(1x) Un(x) =, nN,xR, n! (n) Ln(x) =Un(x)
et par(Rn)sal:rofedetiusdontincpaien´e nN Z 1 xt nN,xR, Rn(x) =e Ln(t)dt. 0 1. (a) Montrerque pour tout entier naturelnettuorte´lexnon nul,Rn(x) est non nul.
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