Onde´signepar: Nl’ensemble des entiers naturels; Z;l’anneau des entiers relatifs Qle corps des nombres rationnels; ∗ Ql’ensemble des nombres rationnels non nuls; Relproc;ssrreel´eessdmbno ∗ ∗ R[resp.R];s]’l´eeldesrmbleensets.pser[slunnonsifitostpenemctri + Cle corps des nombres complexes; ∗ C;l’ensemble des nombres complexes non nuls Z[x]fita.snofseduaopsnoitcneanl’stneicnersleitremiallynocoeffies`a Pour tout entier natureln,on noten!la factorielle denavec la convention0! = 1. Sif´endniioctonefuntsesurfinieed´eavlbe´irnedtnfimiRs`ra´vealeursetellekest un entier (k) naturel non nul, on notefriv´eed’ordrenofale´dnoitckdef.On utilise la convention habituelle, (0) f=f. ∗ SiItetniutsee´lellrereavintnunpoit`a´edunonrfoitcnofenueedblvari´endIdansC,on 0 f rappellequelad´eriv´eelogarithmiquedefest la fonction. f Lapremie`repartiedeceproble`meestconsacr´ee`alad´emonstrationdequelquesr´esultatsutiles pour la suite. Dansladeuxi`emepartie,`apartird’unecaracte´risationdessousgroupesadditifsdeR(ils sont densesoudiscrets),onde´duituncrit`ered’irrationalite´etonde´critunem´ethodepermettantde prouverqu’unr´eelestirrationnel. r Cetteme´thodeestutilis´eedanslatroisi`emepartiepourmontrerl’irrationalite´deepour tout nombre rationnel non nulr.xomiparpsnartaoinelltionesCeproc´e´demrepe´teelagntmeobd’niteesrd de la fonction exponentielle. Danslaquatri`emepartieons’inte´resseauxracinesr´eellesdessolutionsd’une´equationdiffe´rentielle line´aired’ordre2etpntnessnatnoocntsnfficieacoe`neci´esrleelessditrailucasrearxuofcnitnodse Bessel d’indice entier. Enfindanslacinqui`emepartie,onmontrequelesracinesr´eellesnonnullesdesfonctionsde Besseld’indiceentiersontirrationnellesenutilisantunem´ethodevoisinedecellede´critedansla deuxi`emepartie.
Onrappellelaformuled’int´egrationparpartiesite´r´ee:sia, bqseusrdentsoelstel´ea < b, nun entier naturel non nul etf, gdofseitcndsnofin´essiel’urteinlealrv[a, b]datesellee´rsruealav`antmett desde´rive´escontinuesjusqu’`al’ordren,alors : " # b ZnZ b b X (n)k+1 (n−k) (k−1)n(n) f(t)g(t)dt= (−1)f g+ (−1)f(t)g(t)dt. a a k=1 a
–I–R´esultatspr´eliminaires
Pourcettepartie,onde´signeparpun entier naturel, parPune fonction polynomiale dansZ[x] nonidentiquementnulle,dedegr´ep,et parnun entier naturel. 1. SoitQdee´imlaap:rnfieinctilafolynoonpo n x ∀x∈R, Q(x) =P(x). n! 1
(k) (a) Montrerque pour tout entier naturelk, Q(0) est un entier relatif. (n+k) Q(0) (b) Montrer que pour tout entier naturelkcompris entre 0 etp,est un entier k! relatif. 2. SoitRpnlotcoifanol:raepniefid´leiaomyn 1 n ∀x∈R, R(x() =x(1−x)P(x)). n! (k) (k) (a) Montrerque pour tout entier naturelkeslanqut´tiesR(0) etR(1) sont des entiers relatifs. (n) (b) Montrerque la fonction polynomialeUefid´epniraU=Rappaeitrnt`aZ[x]. 3. Enreprenant les notations deI.2uo`,PdansZ[x]\ {0}gededtser´ep,montrer que pour toute fonctionfdninfie´nemie´dtvariedbleRdansRon a : Z Z 1 1 (n)n(n) f(t)R(t)dt= (−1)f(t)R(t)dt. 0 0
– II – Sous-groupes additifs deRectreseir`tratid’irit´eonal
ou`αlee´rnutse. ∗ 2. SoientHun sous-groupe additif deRt`uiaonnedr´{0}etK=H∩R. + (a) MontrerqueKadmetunee´irueerobnriefnαdansR+. (b) Montrerque siαest strictement positif, alorsαest dansK. (c) Montrerque siαest strictement positif, alorsHest discret. (d) Montrerque siαest nul, alorsHest dense dansR. 3.Montrerqu’unre´elθest irrationnel si et seulement si le sous-groupe additif deR, Hθ=θZ+Z est dense dansR. 4.Montrerqu’unr´eelθest irrationnel si et seulement si il existe deux suites (pn() etqn) n∈Nn∈N d’entiers relatifs telles que : ∀n∈N, qnθ−pn6= 0,(1) lim (qnθ−pn) = 0.(2) n→+∞ +∞ P1 5.Montrerl’irrationalit´edunombree=enladeatltontiesqunasilituuse´reltII.4. k! k=0
2
6. Pourcette question, on se donne un entier naturelp,une fonction polynomialePdansZ[x] de degr´epne s’annulant pas sur ]0,1[ et on lui associe les suites de fonctions polynomiales (Un) n∈N et (Ln):rapesniefid´ n∈N 1 n Un(x) =(x(1−x)P(x)), n! ∀n∈N,∀x∈R, (n) Ln(x) =Un(x). Onsedonnee´galementunefonctionftn´drevibaeledind´efinimeRdansRet on lui associe la suiteder´eels(Rn:ar)fie´dpein n∈N Z 1 ∀n∈N, Rn=f(t)Ln(t)dt. 0 (a) Onsuppose que la fonctionfesesh`ote:ntvauire´vpyh’lefii (n) ∀n∈N,∀t∈]0,1[, f(t)6= 0.(H1) Montrer alors queRnest non nul pour tout entier natureln. (b) Onsuppose que la fonctionfaviusese`htopyh’elifierv´:etn Z1 (n) ¯ ¯ f(t)dt 0 ilexisteunr´eelρ >ntriobetios)2H(.ee´te0uelqsula n ρ n∈N n Montrerquepourtoutre´elµla suite (µ Rnconvergente vers 0) est. n∈N (c) Onsuppose que la fonctionferifielesv´es(syhophte`H1),(H`ethpohyl’et2):etnaviuses qnθ−pn ∀n∈N, Rn= (H3) n αλ o`uα, λ, θnesdnrosoes´tlnete(unslpn),(qn) deuxsuites d’entiers relatifs. n∈Nn∈N Montreralorsqueler´eelθest irrationnel.
r∗ –III–Irrationalit´edeepourr∈Q
Pourcettepartie,ond´esignepar(Un)et(Ln)ar:´efiniespdsnoitcnofedsetisuesl n∈Nn∈N n n x(1−x) Un(x) =, ∀n∈N,∀x∈R, n! (n) Ln(x) =Un(x)
et par(Rn)sal:rofedetiusdontincpaiefin´e n∈N Z 1 xt ∀n∈N,∀x∈R, Rn(x) =e Ln(t)dt. 0 1. (a) Montrerque pour tout entier naturelnettuorte´lexnon nul,Rn(x) est non nul.