Première composition de Mathématiques 2006 Classe Prepa PC Ecole Polytechnique

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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Première composition de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 14 mars 2008
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• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2006

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

FILIÈRE PC

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

? ? ? Polynômes à coefficients1ou−1

Les polynômes étudiés dans ce problème ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopie multifentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théorie des codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique, télécommunications, théorie des radars et acoustique.

Toute affirmation devra être soigneusement justifiée. La précision, la clarté et la concision des raisonnements seront particulièrement appréciées.

` Soit`un entier au moins égal à 1. Dans ce problème, un vecteuradeRsera appeléséquence de longueur`si chacune de ses`coordonnées vaut 1 ou−1. Les coordonnées d’une séquencea de longueur`seront numérotées de 0 à`−1,a= (a 0 , a 1 , . . . , a `−1 ). On noteraS ` l’ensemble des séquences de longueur`. On appellera simplementséquence, tout vecteur qui est une séquence de longueur`, pour un certain entier`>1.

On dira que des séquencesaetbforment unepaire complémentairesi elles ont même longueur `(qui sera appelée dorénavantlongueur de la paire) et si elles vérifient, dans le cas où` >1, pour tout entierjtel que16j6`−1, lajième condition de corrélation : `−1−j X (a i a i+j +b i b i+j ) = 0. i=0 Par convention, tout couple de séquences de longueur1est une paire complémentaire. Ainsi, pour tout entier`>1, la complémentarité d’une paire de longueur`implique`−1conditions de corrélation.

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Première partie

On désigne parLl’ensemble des entiers`pour lesquels il existe au moins une paire complé mentaire de longueur`. Autrement dit,Lest l’ensemble des longueurs de paires complémentaires. Dans cette partie, on se propose d’étudier certaines propriétés de l’ensembleL.

1.Montrer que2appartient àLet que3n’appartient pas àL.

Soit`un entier au moins égal à 1. Pour toute séquence,a= (a 0 , a 1 , a, . . . `−1 ), de longueur `, on définit le polynômeP a par la formule `−1 X i P a (X) =a i X . i=0 Un tel polynôme est appelépolynôme séquentiel.

2.a)Soientaetbdes séquences. On considère la fonction définie pourxréel,x6= 0, par −1−1 x7→P a (x)P a (x) +P b (x)P b (x). Montrer que siaetbne sont pas deux séquences de même longueur, cette fonction n’est pas bornée sur]0,+∞[.

Montrer que deux séquencesaetbde même longueur forment une paire complémentaire si et seulement si cette fonction est constante. Exprimer cette constante en fonction de la longueur `de la paire complémentairea, b.

2.b)Montrer que siaetbsont des séquences de même longueur,P a (1)etP b (1)sont des entiers de même parité. En déduire que tout élément deLpeut s’écrire comme la somme de deux carrés d’entiers.

2.c)Montrer que le complémentaire deLdansNest un ensemble infini [on pourra étudier le reste de la division par4d’un carré d’entier].

1 1 3.a)Soientaetbdes séquences de même longueur. On poseU= (P a +P b )etV= (P a −P b ). 2 2 Montrer queaetbforment une paire complémentaire si et seulement si la fonction

−1−1 x7→U(x)U(x) +V(x)V(x)

est constante sur son domaine de définition.

3.b)Les séquences, de longueur 10,

a= (1,1,−1,1,−1,1,−1,−1,1,1)

et b= (1,1,−1,1,1,1,1,1,−1,−1) formentelles une paire complémentaire?

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4.Démontrer, pour toute séquencevde longueur paire2m(m∈N, non nul), l’équivalence des assertions suivantes : (i) 4divise la sommev 0 +v 1 +∙ ∙ ∙+v 2m−1 , (ii) lenombre de coordonnées devégales à−1a la même parité quem, m (iii)v 0 v 1 ∙ ∙ ∙v 2m−1 = (−1). 5.Soit`∈ L,`>2, et soientaetbdes séquences qui forment une paire complémentaire de longueur`. Pour tout entieri,06i6`−1, on posex i =a i b i . 5.a)Montrer que, pour tout entierj,16j6`−1, `−1−j Y `−j x k x k+j = (−1) k=0 [considérer la somme des coordonnées de la séquence(a 0 a j , a, . . . `−1−j a `−1 , b 0 b j , . . ., b `−1−j b `−1 )].

5.b)En déduire que, pour tout entierj,06j6`−1, x j x `−1−j =−1. 5.c)Montrer que tout élément`deL,`>2, est pair.

Deuxième partie

Si deux polynômes séquentiels sont associés à des séquences qui forment une paire complé mentaire, on dit qu’ils forment unepaire complémentaire de polynômes. Cette partie est consacrée à l’étude de certaines paires complémentaires de polynômes, ditespaires de RudinShapiro. On définit deux suites de polynômes(P n ) n∈N et(Q n ) n∈N par les conditions initiales P 0 (X) =Q 0 (X) = 1 et les relations de récurrence n 2 P n+1 (X) =P n (X) +X Q n (X),(1)

n 2 Q n+1 (X) =P n (X)−X Q n (X).

6.a)CalculerP 1 etQ 1 , puisP 2 etQ 2 .

(2)

6.b)Calculer les valeurs respectives deP n (1),Q n (1),P n (−1)etQ n (−1)en fonction de l’entiern.

7.Démontrer que, pour tout entier positifn, les polynômesP n etQ n sont séquentiels et qu’ils forment une paire complémentaire. Qu’en déduire visàvis de k des entiers de la forme2, pourkentier positif ou nul, à l’ensembleL?

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des polynômes l’appartenance

8.Démontrer, pour tout entier positif ou nulnet tout nombre complexe non nulz∈C, l’égalité n n2−1−1 Q n (z) = (−1)z P n (−z). 9.a)SoitTun polynôme quelconque deC[X], de degré exactementd,d>1, qu’on écrit d T(X) =t 0 +t 1 X+∙ ∙ ∙+t d X(avect d non nul). Montrer que les racines deTsont toutes majorées en module par la quantité1 + sup 06i6d−1 |t i /t d |.

9.b)Démontrer, pour toute valeur de l’entiern, que toute racine (complexe)zdu polynôme P n Q n vérifie 1 6|z|62. 2 Peuton remplacer chacune de ces deux inégalités larges par une inégalité stricte? P ∞ p 10.a)Montrer qu’il existe une série entière,S(z) =t lesPsont des som p=0 u p z, don n mes partielles. Identifier son rayon de convergence.

10.b)La somme de la sérieSatelle des zéros dans le disque ouvert de rayon1/2centré à l’origine ?

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L’ensembleLétudié dans ce problème est encore actuellement l’objet de recherches.

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