Problème de physique - option physique 2009 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Externe)

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 30 octobre 2009
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

Couplage fort de deux oscillateurs

Enpla¸cantdelamatie`redansunecavit´eoptique,onpeutobtenirunsyste`mecomposite cavite´-mati`ereauxproprie´te´snouvelles,silamati`erepre´senteunere´sonance`aunepulsation e´galea`unepulsationdere´sonancedelacavite´,etsicesdeuxr´esonancesontdescoefficients d’amortissementfaiblesdevantlecoefficientdecouplageentrecessyste`mes.Untelph´enom`ene de couplage fort ae´te´misene´videncepourdesatomesencavit´eaude´butdesanne´es1980, puisdansdeshe´te´rostructuresdemat´eriauxsemi-conducteursaud´ebutdesanne´es1990.

Leprobl`emecomportetroispartiestre`slargementinde´pendantes.

Lapremi`erepartiedonneunedescriptionpurementclassiquededeuxoscillateursharmo- niques,demeˆmepulsationderesonance ω 0 ,etcoupl´esline´airement;lecoefficientdecouplage, ´ homogeneaunepulsation,estnote´Ω 1 .Cesoscillateurssontfaiblementamortis:oncaract´erise ` ` chaque oscillateur par son coefficient d’amortissement γ 1 ou γ 2 ,´egalementhomoge`nea`une pulsation.Onconside`redanstoutleproble`mequeΩ 1 , γ 1 et γ 2 sont tre`spetits devant la pul- sationdere´sonance ω 0 .L’objetduprobl`emeestd’´etudiercommentladynamiquedusyste`me estmodifie´esuivantl’importancerelativedeseffetsdecouplage(Ω 1 ) et d’amortissement ( γ 1 et γ 2 ):ondistingueainsiunr´egimede couplage fort etunr´egimede couplage faible .

Onconside`redanslesdeuxpartiessuivantesdeuxoscillateursdenaturesphysiquesdiff´erentes: unmodeduchamp´electromagne´tiquedansunecavite´,etuner´esonancedumilieumat´eriel pr´esentdanslacavit´e.Ond´ecritdansladeuxi`emepartielecouplagelumie`re-mati`eredansle cadredel’optiqueclassique,enexaminantcommentlespropri´ete´sdedispersionetd’absorption dumilieumodifientlafonctiondetransmissiondelacavit´eoptique.

Latroisi`emepartieproposeunedescriptionquantiquedusyst`emeleplussimple:unseul atome,assimile´`aunsyst`emea`deuxniveaux,couple´a`unmodediscretduchamp´electromagne´tique delacavit´e,contenant0ou1photon.

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Pouralle´gerlescalculs,onseplacedanstoutleprobl`emedanslecasr´esonnant:lesdeux oscillateursontexactementlameˆmepulsationdere´sonance,note´e ω 0 . Les coefficients d’amor- tissementsontde´finisparrapporta`l’e´nergie.Sionconsid`ereuneexcitationharmoniquede pulsation ω ,onnoteraΔlede´calageenpulsationΔ= ω − ω 0 .

Relationsmath´ematiquesutiles: ”Fonction” δ de Dirac : Z − + ∞ ∞ exp( − jωt ) dω = 2 πδ ( t ) Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 ) si t 0 ∈ ] t 1 , t 2 [ Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = 0 si t 0 / ∈ [ t 1 , t 2 ] Onadmettraquedanslecadredescalculsdemande´sdansceprobl`eme,onpeut´ecrire: Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = f ( 2 t 0 ) si t 0 = t 1 ou t 0 = t 2 Transforme´edeFourierd’unelorentzienne: + Z −∞ ∞ 1+ 1 ( ω ) 2 exp( − jωt ) dω = πa exp( − a | t | ) ( a > 0) a

(1)

(2)

(3)

Conventionsd’´ecriture: On note j le nombre complexe tel que j 2 = − 1.Lescandidatspourront,`aleurconvenance, e noter les grandeurs complexes A ou A . On note < []lapartiere´elleet = [ ] la partie imaginaire delaquantit´eentrecrochets.

Notationsutilise´esdansleprobl`eme: Constantes fondamentales : argeel´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 1 , 60 10 − 19 C e ch ´ m massedel’e´lectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 9 , 11 10 − 31 kg c vitessedelalumie`redanslevide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 2 , 99 10 8 m.s − 1  0 permittivite´die´lectriqueduvide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  0 = 8 , 85 10 − 12 F.m − 1 ¯ h constantedePlanckre´duite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h ¯ = h/ (2 π ) = 1 , 05 10 − 34 J.s Premie`repartie: L inductance Ω 1 coefficient de couplage γ 1 et γ 2 coefficientd’amortissementducircuitre´sonnant1ou2 e ω pulsation complexe ω + et ω − pulsations des modes propres

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γ + et γ − coefficients d’amortissement des modes propres Δ + et Δ − d´ecalagesdespicsder´esonancedescircuitscoupl´esparrapporta` ω 0 Deuxie`mepartie: L longueurdelacavite´ n B indice constant du milieu sans oscillateurs r et t coefficientsder´eflexionetdetransmissionenamplituded’unmiroir R et T coefficientsdere´flexionetdetransmissine´ergied’unmiroir o n en T Csans ( ω )transmissiondelacavite´sansoscillateurs T Cmax transmissionmaximaledelacavite´sansoscillateurs Δ ISL intervalleenpulsationentredeuxre´sonancescons´ecutivesdelacavite´seule ε ( ω )d´esaccorddephase γ C largeur`ami-hauteurdespicsdetransmissiondelacavit´eule e s F Finessedelacavite´Fabry-Perot τ tempsd’unaller-retourdelalumie`redanslacavit´e γ coefficientd’amortissementdel’´energiedumodedelacavite´seule  e r permittivit´edi´electriquerelative  rB = n 2 B χ e ( ω )susceptibilite´die´lectriquedesoscillateursdeLorentz ω 0 pulsationdere´sonancedesoscillateursdeLorentz γ A coefficient d’amortissement des oscillateurs de Lorentz N nombred’oscillateursdeLorentzparunit´edevolume ω p pulsation plasma  0 permittivit´edi´electriqueduvide α ( ω ) coefficient d’absorption des oscillateurs de Lorentz n ( ω ) indice du milieu contenant les oscillateurs de Lorentz α 0 = α ( ω = ω 0 ) β param`etredecouplage T Cavec ( ω )transmissiondelacavite´contenantlesoscillateursdeLorentz Δ + et Δ − d´ecalagesdespicsdetransmissiondelacavit´econtenantlesoscillateursde Lorent ort ` z par rapp a ω 0 Ω = Δ + − Δ − ,´ecartentrecesdeuxpicsdetransmission γ AC largeur`ami-hauteurdespicsdetransmissiondelacavite´contenantlesoscillateurs t C ( ω )coefficientdetransmissionenamplitudedelacavit´e Troisi`emepartie: v = h ¯Ω 1 / 2:e´nergiedecouplageentredeux´tatsquantiques e ρ 0 densite´d’e´tats(uniforme)en´energie Γprobabilite´detransitionparunit´edetempsdel’e´tatdiscretverslecontinuum,donnee ´ parlare`gled’ordeFermi ¯ hγ largeura`mi-hauteurdeladensit´ed’´etatsen´energie ρ ( h ¯ ω )

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