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Problème de physique - option physique 2009 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Externe)

20 pages
Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Problème de physique - option physique 2009. Retrouvez le corrigé Problème de physique - option physique 2009 sur Bankexam.fr.
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Couplage fort de deux oscillateurs
Enpla¸cantdelamatie`redansunecavit´eoptique,onpeutobtenirunsyste`mecomposite cavite´-mati`ereauxproprie´te´snouvelles,silamati`erepre´senteunere´sonance`aunepulsation e´galea`unepulsationdere´sonancedelacavite´,etsicesdeuxr´esonancesontdescoecients damortissementfaiblesdevantlecoecientdecouplageentrecessyste`mes.Untelph´enom`ene de couplage fort ae´te´misene´videncepourdesatomesencavit´eaude´butdesanne´es1980, puisdansdeshe´te´rostructuresdemat´eriauxsemi-conducteursaud´ebutdesanne´es1990.
Leprobl`emecomportetroispartiestre`slargementinde´pendantes.
Lapremi`erepartiedonneunedescriptionpurementclassiquededeuxoscillateursharmo-niques,demeˆmepulsationderesonance ω 0 ,etcoupl´esline´airement;lecoecientdecouplage, ´ homogeneaunepulsation,estnote´Ω 1 .Cesoscillateurssontfaiblementamortis:oncaract´erise ` ` chaque oscillateur par son coefficient d’amortissement γ 1 ou γ 2 ,´egalementhomoge`nea`une pulsation.Onconside`redanstoutleproble`mequeΩ 1 , γ 1 et γ 2 sont tre`spetits devant la pul-sationdere´sonance ω 0 .Lobjetduprobl`emeestd´etudiercommentladynamiquedusyste`me estmodie´esuivantlimportancerelativedeseetsdecouplage(Ω 1 ) et d’amortissement ( γ 1 et γ 2 ):ondistingueainsiunr´egimede couplage fort etunr´egimede couplage faible .
Onconside`redanslesdeuxpartiessuivantesdeuxoscillateursdenaturesphysiquesdi´erentes: unmodeduchamp´electromagne´tiquedansunecavite´,etuner´esonancedumilieumat´eriel pr´esentdanslacavit´e.Ond´ecritdansladeuxi`emepartielecouplagelumie`re-mati`eredansle cadredeloptiqueclassique,enexaminantcommentlespropri´ete´sdedispersionetdabsorption dumilieumodientlafonctiondetransmissiondelacavit´eoptique.
Latroisi`emepartieproposeunedescriptionquantiquedusyst`emeleplussimple:unseul atome,assimile´`aunsyst`emea`deuxniveaux,couple´a`unmodediscretduchamp´electromagne´tique delacavit´e,contenant0ou1photon.
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Pouralle´gerlescalculs,onseplacedanstoutleprobl`emedanslecasr´esonnant:lesdeux oscillateursontexactementlameˆmepulsationdere´sonance,note´e ω 0 . Les coefficients d’amor-tissementsontde´nisparrapporta`le´nergie.Sionconsid`ereuneexcitationharmoniquede pulsation ω ,onnoteraΔlede´calageenpulsationΔ= ω ω 0 .
Relationsmath´ematiquesutiles: ”Fonction” δ de Dirac : Z + exp( jωt ) = 2 πδ ( t ) Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t t 0 ) dt = f ( t 0 ) si t 0 ] t 1 , t 2 [ Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t t 0 ) dt = 0 si t 0 / [ t 1 , t 2 ] Onadmettraquedanslecadredescalculsdemande´sdansceprobl`eme,onpeut´ecrire: Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t t 0 ) dt = f (2 t 0 )si t 0 = t 1 ou t 0 = t 2 Transforme´edeFourierdunelorentzienne: + Z 1+1( ω ) 2 exp( jωt ) = πa exp( a | t | ) ( a > 0) a
(1)
(2)
(3)
Conventionsd´ecriture: On note j le nombre complexe tel que j 2 = 1.Lescandidatspourront,`aleurconvenance, e noter les grandeurs complexes A ou A . On note < []lapartiere´elleet = [ ] la partie imaginaire delaquantit´eentrecrochets.
Notationsutilise´esdansleprobl`eme: Constantes fondamentales : argeel´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 1 , 60 10 19 C e ch ´ m massedele´lectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 9 , 11 10 31 kg c vitessedelalumie`redanslevide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 2 , 99 10 8 m.s 1 0 permittivite´die´lectriqueduvide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  0 = 8 , 85 10 12 F.m 1 ¯ h constantedePlanckre´duite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h ¯ = h/ (2 π ) = 1 , 05 10 34 J.s Premie`repartie: L inductance Ω 1 coefficient de couplage γ 1 et γ 2 coecientdamortissementducircuitre´sonnant1ou2 e ω pulsation complexe ω + et ω pulsations des modes propres
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γ + et γ coefficients d’amortissement des modes propres Δ + et Δ d´ecalagesdespicsder´esonancedescircuitscoupl´esparrapporta` ω 0 Deuxie`mepartie: L longueurdelacavite´ n B indice constant du milieu sans oscillateurs r et t coecientsder´eexionetdetransmissionenamplitudedunmiroir R et T coecientsdere´exionetdetransmissine´ergiedunmiroir o n en T Csans ( ω )transmissiondelacavite´sansoscillateurs T Cmax transmissionmaximaledelacavite´sansoscillateurs Δ ISL intervalleenpulsationentredeuxre´sonancescons´ecutivesdelacavite´seule ε ( ω )d´esaccorddephase γ C largeur`ami-hauteurdespicsdetransmissiondelacavit´eule e s F Finessedelacavite´Fabry-Perot τ tempsdunaller-retourdelalumie`redanslacavit´e γ coecientdamortissementdel´energiedumodedelacavite´seule e r permittivit´edi´electriquerelative rB = n 2 B χ e ( ω )susceptibilite´die´lectriquedesoscillateursdeLorentz ω 0 pulsationdere´sonancedesoscillateursdeLorentz γ A coefficient d’amortissement des oscillateurs de Lorentz N nombredoscillateursdeLorentzparunit´edevolume ω p pulsation plasma 0 permittivit´edi´electriqueduvide α ( ω ) coefficient d’absorption des oscillateurs de Lorentz n ( ω ) indice du milieu contenant les oscillateurs de Lorentz α 0 = α ( ω = ω 0 ) β param`etredecouplage T Cavec ( ω )transmissiondelacavite´contenantlesoscillateursdeLorentz Δ + et Δ d´ecalagesdespicsdetransmissiondelacavit´econtenantlesoscillateursde Lorent ort ` z par rapp a ω 0 Ω = Δ + Δ ,´ecartentrecesdeuxpicsdetransmission γ AC largeur`ami-hauteurdespicsdetransmissiondelacavite´contenantlesoscillateurs t C ( ω )coecientdetransmissionenamplitudedelacavit´e Troisi`emepartie: v = h ¯Ω 1 / 2:e´nergiedecouplageentredeux´tatsquantiques e ρ 0 densite´de´tats(uniforme)en´energie Γprobabilite´detransitionparunit´edetempsdele´tatdiscretverslecontinuum,donnee ´ parlare`gledordeFermi ¯ largeura`mi-hauteurdeladensit´ed´etatsen´energie ρ ( h ¯ ω )
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