Recueil d'annales en Mathématiques Terminale S – Enseignement ...

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Recueild’annalesenMathématiques TerminaleS–Enseignementobligatoire Géométrie(barycentreetproduitscalairedans l’espace) 1FrédéricDemoulin Dernièrerévision:3juin2010 2Documentdiffusévialesitewww.bacamaths.netdeGillesCostantini 1. frederic.demoulin(chez)voila.fr 2. gilles.costantini(chez)bacamaths.netAnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) Tableaurécapitulatifdesexercices ⋆indiquequecettenotionaétéabordéedansl’exercice QCM Tétra- Représ. Bary- Lieu Proba-N° Lieu Date ROC Cube Sphère d A;P( ) VF èdre param. centre géom. bilités Session2010 1 Liban juin2010 ⋆ 2 Inde avril2010 ⋆ ⋆ ⋆ Session2009 3 AmériqueduSud nov2009 ⋆ ⋆ ⋆ 4 Nouvelle-Calédonie nov2009 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 5 Antilles-Guyane sept2009 ⋆ ⋆ ⋆ 6 France/LaRéunion sept2009 ⋆ ⋆ 7 Polynésie sept2009 ⋆ ⋆ ⋆ 8 AmériqueduNord juin2009 ⋆ ⋆ 9 Centresétrangers juin2009 ⋆ 10 France(sujetinitial) juin2009 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 11 LaRéunion juin2009 ⋆ ⋆ 12 Liban juin2009 ⋆ ⋆ ⋆ 13 Polynésie juin2009 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 14 Inde avril2009 ⋆ ⋆ ⋆ Session2008 15 Nouvelle-Calédonie mars2009 ⋆ ⋆ 16 AmériqueduSud nov2008 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 17 Nouvelle-Calédonie nov2008 ⋆ ⋆ 18 Polynésie sept2008 ⋆ 19 Antilles-Guyane juin2008 ⋆ ⋆ ⋆ 20 Asie juin2008 ⋆ ⋆ 21 Centresétrangers juin2008 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 22 France juin2008 ⋆ ⋆ 23 Polynésie juin2008 ⋆ ⋆ 24 AmériqueduNord mai2008 ⋆ ⋆ ⋆ 25 Inde avril2008 ⋆ ⋆ ⋆ Session2007 26 Nouvelle-Calédonie déc2007 ⋆ ⋆ ⋆ 27 AmériqueduSud nov2007 ⋆ ⋆ 28 Polynésie sept2007 ⋆ ⋆ 29 Antilles-Guyane juin2007 ⋆ 30 France juin2007 ⋆ ⋆ 31 Liban juin2007 ⋆ ⋆ ⋆ 32 Polynésie juin2007 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 33 Inde avril2007 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Session2006 34 Nouvelle-Calédonie mars2007 ⋆ ⋆ ⋆ 35 France sept2006 ⋆ ⋆ 36 Polynésie sept2006 ⋆ 37 Centresétrangers juin2006 ⋆ ⋆ 38 France juin2006 ⋆ ⋆ 39 LaRéunion juin2006 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 40 Polynésie juin2006 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 41 Inde avril2006 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ F.Demoulin Page1AnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) QCM Tétra- Représ. Bary- Lieu Proba- N° Lieu Date ROC Cube Sphère d(A;P) VF èdre param. centre géom. bilités Session2005 42 AmériqueduSud nov2005 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 43 Antilles-Guyane sept2005 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 44 France sept2005 ⋆ 45 Asie juin2005 ⋆ ⋆ ⋆ 46 LaRéunion juin2005 ⋆ 47 Polynésie juin2005 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 48 Inde avril2005 ⋆ ⋆ Session2004 49 Nouvelle-Calédonie nov2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 50 AmériqueduNord juin2004 ⋆ ⋆ ⋆ 51 Antilles-Guyane juin2004 ⋆ ⋆ ⋆ 52 Asie juin2004 ⋆ ⋆ 53 France juin2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Session2003 54 Nouvelle-Calédonie mars2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 55 AmériqueduSud nov2003 ⋆ ⋆ ⋆ 56 Nouvelle-Calédonie nov2003 ⋆ ⋆ ⋆ 57 Polynésie sept2003 ⋆ ⋆ ⋆ 58 Asie juin2003 ⋆ ⋆ ⋆ 59 France juin2003 ⋆ ⋆ 60 LaRéunion juin2003 ⋆ ⋆ ⋆ 61 Polynésie juin2003 ⋆ ⋆ Session2001 62 Nouvelle-Calédonie nov2001 ⋆ ⋆ 63 AmériqueduNord juin2001 ⋆ ⋆ 64 Centresétrangers juin2001 ⋆ ⋆ 65 France juin2001 ⋆ ⋆ ⋆ F.Demoulin Page2AnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) Exercice1 Liban,juin2010(4points) ³ ´→−→− →−L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O ; ı ;  ; k . OnnoteD ladroitepassantparlespoints A(1;−2;−1)etB(3;−5;−2). 1. Montrerqu’unereprésentationparamétriquedeladroiteD est:x=1+2t avec t∈Ry=−2−3t z=−1−t ′2. OnnoteD ladroiteayantpourreprésentationparamétrique:x= 2−k y=1+2k aveck∈R z= k ′MontrerquelesdroitesD etD nesontpascoplanaires. 3. OnconsidèreleplanP d’équation4x+y+5z+3=0. a. MontrerqueleplanP contientladroiteD. ′b. MontrerqueleplanP etladroiteD secoupentenunpointC dontonpréciseralescoordonnées. →− 4. Onconsidèreladroite¢passantparlepointC etdevecteurdirecteur w(1; 1;−1). ′a. Montrerquelesdroites¢etD sontperpendiculaires. b. Montrer que la droite¢ coupe perpendiculairement la droiteD en un point E dont on précisera les coordonnées. F.Demoulin Page3AnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) Exercice2 Inde,avril2010(5points) ³ ´→−→− →−L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O ; ı ;  ; k . Pourchacunedespropositionssuivantes,indiquer sielleestvraieoufausseetdonnerunedémonstrationdela ré- ponsechoisie.Danslecasd’unepropositionfausse,ladémonstrationpourraconsisteràfourniruncontre-exemple.x=t+2 1. Ladroitedereprésentationparamétrique y=−2t , t∈Restparallèleauplandontuneéquationcarté- z=3t−1 sienneestx+2y+z−3=0. ′ ′′2. Les plansP,P etP d’équations respectives x−2y+3z=3, 2x+3y−2z=6 et 4x−y+4z=12 n’ont pasdepointcommun. 3. Lesdroitesdereprésentationsparamétriquesrespectives x=2−3t x=7+2u  y=1+t , t∈Ret y=2+2u , u∈Rsontsécantes.   z=−3+2t z=−6−u 4. Onconsidèrelespoints A(−1; 0; 2),B(1; 4; 0)etC(3;−4;−2). Leplan(ABC)apouréquationx+z=1. 5. Onconsidèrelespoints A(−1; 1; 3),B(2; 1; 0)etC(4;−1; 5). OnpeutécrireC commebarycentredespoints A etB. F.Demoulin Page4AnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) Exercice3 AmériqueduSud,novembre2009(6points) ³ ´→−→− →−L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O ; ı ;  ; k .Onprend1cmcommeunité. PartieA–Restitutionorganiséedeconnaissances Soit D le point de coordonnées (x ; y ; z ) etP le plan d’équation ax+by+cz+d=0, où a,b et c sont desD D D réelsquinesontpastousnuls. DémontrerqueladistancedupointD auplanP estdonnéepar:¯ ¯¯ ¯ax +by +cz +dD D D d(D ;P)= p 2 2 2a +b +c PartieB Onconsidèrelespoints Adecoordonnées(3;−2; 2),B decoordonnées(6;−2;−1),C decoordonnées(6; 1; 5) etD decoordonnées(4; 0;−1). 1. Démontrerqueletriangle ABC estrectangle.Endéduirel’airedutriangle ABC. →− 2. Vérifierquelevecteur n decoordonnées(1;−2; 1)estnormalauplan(ABC). Détermineruneéquationduplan(ABC). 3. CalculerladistancedupointD auplan(ABC). Déterminerlevolumedutétraèdre ABCD. PartieC SoitQ lepland’équation x−2y+z−5=0. 1. DéterminerlapositionrelativedesdeuxplansQ et(ABC). 2. Q coupelesdroites(DA),(DB)et(DC)respectivementenE,F etG. DéterminerlescoordonnéesdeE etmontrerqueE appartientausegment[DA]. 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera priseencomptedansl’évaluation. DéterminerlevolumedutétraèdreEFGD. F.Demoulin Page5AnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) Exercice4 Nouvelle–Calédonie,novembre2009(5points) ³ ´−→ −→ −→ L’espaceestrapportéaurepèreorthonormal A ; AB ; AD ; AE . Onconsidèrelecube ABCDEFGH représentéci-dessous,àrendreaveclacopie. OndésigneparI, J etK lesmilieuxrespectifsdessegments[BC],[BF]et[HF]. 1. Déterminerlescoordonnéesdespoints I, J etK. →− −→ −→ 2. Démontrerquelevecteur n(2; 1; 1)estorthogonalàIK etàIJ. Endéduirequ’uneéquationduplan(IJK)est4x+2y+2z−5=0. 3. a. Déterminerunsystèmed’équationsparamétriques deladroite(CD). b. Endéduirequelepointd’intersectionR duplan(IJK)etdeladroite(CD)estlepointdecoordonnéesµ ¶ 3 ; 1; 0 . 4 c. PlacerlepointR surlafigure. 4. Tracersurlafigurelasectionducubeparleplan(IJK).Onpeutrépondreàcettequestion sansavoirtraité lesprécédentes. p 6 5. a. MontrerqueladistancedupointG auplan(IJK)est . 4 b. SoitS lasphèredecentreG passantparF. JustifierquelasphèreS etleplan(IJK)sontsécants. Déterminerlerayondeleurintersection. z E H F G A D y B C z F.Demoulin Page6AnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) Exercice5 Antilles–Guyane,septembre2009(5points) ³ ´→−→− →−L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O ; ı ;  ; k . Onconsidèrelespoints A(1;−1; 4),B(7;−1;−2)etC(1; 5;−2). −→ −→ −→ 1. a. Calculerlescoordonnéesdesvecteurs AB, AC etBC. b. Montrerqueletriangle ABC estéquilatéral. →− c. Montrerquelevecteur n(1; 1; 1)estunvecteurnormalauplan(ABC). d. Endéduirequex+y+z−4=0estuneéquationcartésienneduplan(ABC). 2. SoitD ladroitedereprésentationparamétrique:x=−2t oùt∈Ry=−2t−2 z=−2t−3 a. MontrerqueladroiteD estperpendiculaireauplan(ABC). b. MontrerquelescoordonnéesdupointG,intersection deladroiteD etduplan(ABC),sont(3; 1; 0). c. MontrerqueG estl’isobarycentredespoints A,B etC. 3. SoitS lasphèredecentreG passantpar A. a. DonneruneéquationcartésiennedelasphèreS . b. Déterminerlescoordonnéesdespointsd’intersectionE etF deladroiteD etdelasphèreS . F.Demoulin Page7AnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) Exercice6 France/LaRéunion,septembre2009(5points) ³ ´→−→− →−L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O ; ı ;  ; k . ′1. OndésigneparP lepland’équationx+y−1=0etparP lepland’équation y+z−2=0. ′JustifierquelesplansP etP sontsécants etvérifierqueleurintersection estladroiteD dontunerepré-x=1−t sentationparamétriqueest: ,oùt désigneunnombreréel.y=t z=2−t 2. a. DétermineruneéquationduplanR passantparlepointO etorthogonalàladroiteD. b. Démontrerquelepoint I,intersection duplanR etdeladroiteD,apourcoordonnées(0; 1; 1).µ ¶ 1 1 3. Soient A etB lespointsdecoordonnéesrespectives − ; 0; et(1; 1; 0). 2 2 a. Vérifierquelespoints A etB appartiennentauplanR. ′ ′b. Onappelle A etB lespointssymétriquesrespectifsdespoints A etB parrapportaupoint I. ′ ′Justifierquelequadrilatère ABA B estunlosange. c. VérifierquelepointS decoordonnées(2;−1; 3)appartientàladroiteD. ′ ′d. CalculerlevolumedelapyramideSABA B . 1 OnrappellequelevolumeV d’unepyramidedebased’aireb etdehauteurh est:V = b×h. 3 F.Demoulin Page8AnnalesTerminaleS Géométrie(barycentreetproduitscalairedansl’espace) Exercice7 Polynésie,septembre2009(4points) OnconsidèrelecubeOABCDEFG d’arêtedelongueur1représentéci-dessous. Iln’estpasdemandéderendrelegraphiquecomplétéaveclacopie.−→ −→ −→ −→ SoientlespointsP etQ telsqueOP=2OA etOQ=4OC. OnappelleR lebarycentredespointspondérés(B ;−1)et(F ; 2).³ ´−→ −→ −→ L’espaceestmunidurepèreorthonormal O ; OA ; OC ; OD . 1. a. DémontrerquelepointR apourcoordonnées(1; 1; 2). b. DémontrerquelespointsP,Q etR nesontpasalignés. c. QuelleestlanaturedutrianglePQR? 2. a. Démontrerqu’uneéquationduplan(PQR)est4x+2y+z−8=0. b. VérifierquelepointD n’appartientpasauplan(PQR). 3. Onappelle H leprojetéorthogonaldupointD surleplan(PQR). a. Déterminerunsystèmed’équationsparamétriques deladroite(DH). b. DéterminerlescoordonnéesdupointH. c. Démontrerquelepoint H appartientàladroite(PR). D G E F O C A B F.Demoulin Page9