Solution partielle du sujet de Mathematiques Generales Cachan 3A parties I et II

Olivier Garet

Description

Solution partielle du sujet de Mathematiques Generales, Cachan 3A 2010 (parties I et II) Avertissement: Je tiens a preciser que je ne suis pas lie a l'Ecole Normale Superieure de Cachan; par suite les affirmations vraies ou fausses contenues dans ces pages ne sauraient engager l'Ecole. Olivier Garet, le 12 janvier 2011 I Abscisse de convergence; abscisse de convergence absolue I.A.1 Avant de commencer, on peut remarquer que si f(s) = ∑n≥1 |an|n?s, on a ?a(f) = ?c(|f |) et qu'il y a egalite si (an) est a termes positifs. • n!ns Soit s ? R quelconque. Soit k un entier avec k > s. Pour n ≥ k, on a n! ≥ n(n?1) . . . (n?k+1) ≥ (n?k+1)k, d'ou n!n?s ≥ (n?k+1)kns , d'ou limn?+∞ n!n?s = +∞: la serie est trivialement divergente: Ac(f) = Aa(f) = ? et donc ?a(f) = ?c(f) = +∞. • n?sn! . Soit s ? R quelconque. Soit k un entier avec k ≥ ?s. Pour n ≥ k, on a n?s n! ≤ nk n! = nk n(n? 1) .

• ???? ≤


• critere special des series alternees


• solution partielle du sujet de mathematiques generales


• serie


• calcul elementaire


• k? ?

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• Langue: Français

Extrait

SolutionpartielledusujetdeMathematiquesGenerales,Cachan3A2010 (parties I et II)

Avertissement: Je SuperieuredeCachan; ces pages ne sauraient

tiensapreciserquejenesuis par suite les armations vraies  engager l’Ecole.

Olivier Garet, le 12 janvier 2011

 paslieal’EcoleNormale ou fausses contenues dans

I Abscisse de convergence; abscisse de convergence absolue P s I.A.1 Avant de commencer, on peut remarquer que sif(s) =|a n |n, on n1 a a (f) = c (|f|ly’iega)quet(latieisa n ositifs.atermesp)set s n!n Soits∈Rquelconque. Soitkun entier aveck > s. Pournk, on k (nk+1) ks an!n(n1). . .(nk+ 1)(nk’do)1,+un!n s , n s d’oulim n→+∞ n!n= +∞:l:aserieesttriviaelemtnidevgrneet A c (f) =A a (f) =∅et donc a (f) = c (f) = +∞. s n . n! Soits∈Rquelconque. Soitkun entier aveck s. Pournk, on a ks k n n n1 = n!n!n(n1). . .(nk+ 1)(nk)! (nk)!

quiestletermegenerald’uneserieconvergenteatermespositifs: ainsiA c (f) =A a (f) =Ret donc a (f) = c (f) =∞. s n Lecriteredit“deRiemann”ditqueA c (f) =A a (f) =]1,+∞[ et donc  a (f) = c (f) = 1.

ns (1)n D’aprescequiprecede a (fPour) = 1. sntiaivmeleeeirrttsl,0esa divergente. Pours <tveerrgeesgprˆaecreaiueccroin0l,saceaidlse seriesalterneesavaleurabsoluedecroissante.AinsiA c (f) =]0,+∞[, et c (f) = 0. n (1) s √  n n n+(1) n n (1) (1) s Onpeutreecrire n n= s+1/2 n s . La valeur absolue √ n+(1) n+(1)n 1 1 est s+1/2n s  s+1/2 ser.Lanveriecoesteisegstnemelui n+(1)n n s+ 1/2>1, soits >1/2. On a donc

A a (f) =]1/2,+∞[,et a (f) = 1/2.

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